地图为什么会说谎 — 从墨卡托到搜索算法

引言 — 格陵兰为什么看起来有非洲那么大

想一想教室墙上挂着的世界地图。上方尽头是雪白的格陵兰,中间偏下是非洲,两者看上去大小相仿。实际面积呢,格陵兰约217万平方公里,非洲约3037万平方公里。非洲比格陵兰大十四倍。

若把这称作地图的失误,话还没开始就结束了。准确的说法是:那张地图本来就不是为展示面积而造的东西。它是为让16世纪的航海者把罗盘航向画成直线而设计的工具,为此有意牺牲了面积。问题从这件工具被搬上教室墙壁的那一刻开始。

怀疑地图,也就是怀疑制图者。把什么放在正中、把哪一边朝上、写下哪些名字、哪条线画成实线,全都是选择。而选择的背后,永远站着一个做选择的人。

球面成不了平面 — 高斯的证明

先说数学。把橘子皮剥下来压在桌上摊平,必定有某处会裂开或叠起来。这不是手巧不巧的问题,而是被定理证明过的事实。1827年,卡尔·弗里德里希·高斯在一篇关于曲面的论文中证明:一个曲面弯曲的程度是可以在该曲面上测得的内蕴性质,只要不拉伸或压缩,它就不会改变。他本人对这个结果极为满意,给它起名叫绝妙定理。

结论残酷得简单。球面与平面的内蕴曲率不同。因此所有平面地图无一例外都会歪曲某种东西。可选项不是要不要歪曲,而是歪曲什么。

地图学把这种选择整理成了类型:守住角度与局部形状的等角投影,守住面积比例的等积投影,守住某个特定点距离的等距投影,以及哪一样都不完全守住、改为把总体误差均匀分摊的折衷投影。这份清单还附着一条冷冰冰的定理:既等角又等积的地图不可能存在。

也有让人用眼睛看见变形大小的工具,那就是1859年法国人尼古拉·奥古斯特·蒂索设计的蒂索指示线。做法是在地球表面各处放上同样大小的小圆,投影之后再看这些圆膨胀和压扁到什么程度。把蒂索指示线叠在墨卡托投影上,从赤道往北走圆圈像滚雪球一样鼓起来的景象,便一览无余。

墨卡托的辩护与彼得斯的反击

1569年,佛兰德的制图者赫拉尔杜斯·墨卡托发表了一幅由18张散页拼成的大型世界地图。拉丁文标题很长,但要害在后半:意思是为供航海者使用而修正调校过的世界描述。这张地图不是世界的肖像画,而是航海计算器。

原理是这样的。保持罗盘方位不变地航行,在地球上会画出一条卷向极点的螺旋曲线。要把这条等角航线在纸上变成直线,就得把经线拉平行拉开了多少,纬线间距也按同样的比率拉长多少。那个比率是纬度的正割值。纬度60度处长度变成两倍、面积变成四倍,80度处仅长度就超过五倍。墨卡托用几何作图近似了这种放大,而给出精确数学表格的是1599年的英国人爱德华·赖特。对航海者来说这是一场革命,因为从此可以沿着用尺子画出的直线,只看一只罗盘就横渡大洋。

问题在于,这件航海工具在整个20世纪一直挂在教室、报纸和新闻背景上。阿拉斯加比巴西小五倍却看着差不多,欧洲比南美洲小得多却看不出来。以地图学家马克·蒙莫尼尔为代表的研究者一直指出,这种视觉习惯会悄悄扭曲我们对世界分量分布的感觉。2017年波士顿公立学校宣布把世界地图换成等积投影而成为国际新闻,也是这场争论的延长线。

反击的象征是1973年在波恩召开的一场记者会。德国历史学家阿尔诺·彼得斯公开了自己的世界地图,主张既有地图一直在放大北半球的发达国家。政治讯息强而有力,国际救援团体与联合国机构纷纷采用这张地图。可地图学界的反应很冷淡,理由有二。第一,那种投影与1855年苏格兰人詹姆斯·高尔已经发表过的几乎相同,所以今天称作高尔-彼得斯投影。第二,守住面积的代价是形状被严重拉长,赤道附近的大陆被压成竖长的一团。1989年,北美主要地理学团体把墨卡托与高尔-彼得斯一并列为标靶,发布联合决议,呼吁不要把长方形世界地图用于一般用途。

这里能得到的教训不是哪种投影正确,而是:看上去政治正确的地图同样躲不开变形,投影的选择不是道德问题,而是目的问题。

把什么放在正中 — 中心与上方的政治

投影定下来,决定也还没完,因为还剩下从哪里裁开地图的问题。把欧洲与非洲放在正中、把太平洋推到左右两端,美洲与亚洲就被安排在彼此最远的位置。反过来把太平洋放在正中,大西洋被劈开,亚洲与美洲则面对面。韩国与日本、澳大利亚与新西兰的教科书地图大多采用后者,这是不愿让本国被挤到边缘的自然选择。画的是同一个地球,世界的邻里关系却变了。

基准线本身也是在会议上定的。1884年10月在华盛顿召开的国际子午线会议上,25国代表就以格林尼治为本初子午线的方案付诸表决。结果是赞成22票、反对1票、弃权2票;投反对票的是圣多明各,弃权的是法国与巴西。法国此后仍固执于巴黎子午线好一阵子,直到1911年才事实上接受格林尼治时间。地球的经度零度不是自然定下的,而是由海洋强国的海图早已使用格林尼治这一现实定下的。

上方即北方这条规矩也不是普遍常数。12世纪西西里的罗杰二世命伊德里西制作的《罗杰之书》地图是南方朝上。中世纪欧洲的世界图是东方朝上,英语中表示方位的orientation一词来自意为日出方向的拉丁文,也是这一习惯的痕迹。1979年澳大利亚人斯图尔特·麦克阿瑟发表的南方朝上世界地图,是精准瞄准这种任意性的一个玩笑,也是一项主张。澳大利亚位于上方而非下方,并不违反任何物理定律。

地图的中心不是世界的中心,而是制图者站立的位置。如果我们觉得某种排布很自然,那意味着我们看了它很久,并不意味着它是对的。

名字与线条 — 当地图成为武器

一个地名之所以会变成外交问题,原因也在这里。国际海道测量组织长期刊行的海洋界限文件,一直被用作各国海图标注的依据,而围绕其中一处名称,韩国与日本已争论了数十年。2020年该组织决定改用数字标识符取代名称的新体系,正说明命名是一种多么棘手的权力行为。称波斯湾还是称阿拉伯湾的争论,性质完全相同。

数字地图用一种新方式处理这个问题:把它藏起来。今天主要的在线地图会依使用者接入的国家把国境线画得不一样。从印度接入,克什米尔一带被处理成实线的印度领土;从别的国家接入,则出现虚线与争议标注。克里米亚的标示同样随接入地区而变。同一个地球上并存着好几张地图,而每个人都相信自己屏幕上的那张才是事实。

线条有时还会招来实实在在的武力。2010年11月,尼加拉瓜士兵进入哥斯达黎加主张为本国领土的卡莱罗岛一带,现场指挥官举出的依据是在线地图上的国境标示。那张地图的边界数据有误,不久后被修正,可部队早已开动。国际法院在2015年判哥斯达黎加胜诉。

历史上的国境线也有需要修正的通说。说非洲的国境是1884年柏林会议上用尺子划出来的,这种解释流传很广,却不准确。柏林会议定下的主要是规则:把有效占领作为主张的要件,宣布刚果盆地自由贸易,并承认利奥波德二世对刚果的统治。实际的界线大多是在此后十五年左右,由列强彼此签订的一份份条约划出来的。会场里发生的不是瓜分的执行,而是瓜分执照的发放。结果并无不同,但历史责任的归属要分散得多。1947年划出印度分治线的西里尔·拉德克利夫,身为一个从未去过印度的法律人,五周内完成了工作,而结果直到独立两天后才公布,这也属于同一类事例。

不必准确的地图 — 中世纪的世界图

第一次看到中世纪欧洲的世界地图,大多数人会笑出来。圆圈里用T字形画着水道,上半部是亚洲,左下是欧洲,右下是非洲。正中是耶路撒冷,上端画着伊甸园。从地理上看,它像是毫无用处。

可这张地图并不是为找路而造的东西。塞维利亚的伊西多尔在7世纪初《词源》中收入的T-O图式,是一幅解释世界结构的图画;约1300年制作、至今尚存的赫里福德世界图,则更接近一部神学百科全书:在宽逾1.3米的羊皮纸上,把圣经事件、传说中的族类与真实存在的城市安排在同一个画面里。时间与空间叠在一张纸上。这些地图想回答的问题不是往哪里去,而是我们身处什么东西的正中央。

同一时代的欧洲人真正用于航海的地图另有其物,那就是13世纪末开始出现的波特兰海图。罗盘方位线呈放射状铺开,地中海岸线的精度即便与近代测量相比也令人吃惊。同一个社会毫无矛盾地并用了两种目的不同的地图,因为承载世界观的地图与开船用的地图,本来就是两样东西。

顺带再理一条通说。说中世纪的人相信地球是平的,这并非事实。地球呈球形自古代起就已为人所知,8世纪的比德,以及13世纪作为大学教材的萨克罗博斯科《天球论》,都以此为前提写作。相信平坦地球的中世纪这一形象,更接近19世纪的创作。1828年华盛顿·欧文的哥伦布传编造了戏剧性场面,而力推宗教与科学一贯交战这一叙事的19世纪作者们把这个形象固化了下来。T-O图是圆的也并非偶然。伊西多尔的图式在印刷术扩散的1472年于奥格斯堡付印,同时也占下了欧洲最早印刷地图这个位置。

今天的制图者 — 网络墨卡托与搜索排名

2005年在线地图服务采用瓦片方式之后,世界再一次成了墨卡托的世界。这种被称为网络墨卡托的投影,计算时把地球当作完美的球体,坐标却照用椭球基准。所以严格说来它既不等角,也不能用于测地计算。国际坐标系登记机构曾有一段时间拒绝给它编号。

尽管如此仍被采用,理由很实用:便于按正方形瓦片递归切分,屏幕放大或旋转时街区尺度的形状仍能保持,而且北方永远朝上。对找路的人来说是完美的性质。代价是,一旦把整个地球放进一屏,16世纪的变形就原样回来了。数十亿人的基本世界图像,再一次被统一到了航海用投影上。主要服务商开始加入缩小时切换为球体的功能,大约是从2018年前后开始的。

更根本的变化不在投影,而在目录。纸质地图上收录什么由制图者决定,而这个决定通过图例与比例尺在一定程度上是公开的。数字地图上什么会被看见,则由搜索排名、广告竞价与个性化信号决定,而这些规则并不公开。站在同一个位置输入同一个关键词,两个人看到的店铺也不一样。地图如今不是图画,而是查询的结果。

在这种情形下,地图学的老问题换了身新衣裳回来了。谁漏掉了什么。哪条路被画得更粗。哪个名字先冒出来。像开放街图那样以公开方式制作地图数据的尝试之所以有意义,原因也在这里。让人看得见编辑权在哪里,这件事本身就是一种政治选择。

结语 — 地图不是世界的照片,而是一项主张

归纳一下。把球面摊成平面的那一刻,变形就无可避免,那么剩下的问题就是守住什么、舍弃什么。这种选择永远有目的,而目的背后永远有一个抱着目的的人。墨卡托为航海者舍弃了面积,彼得斯为政治讯息舍弃了形状,今天的地图服务则为渲染速度与广告收益结构舍弃别的东西。没有哪一方是中立的,而自称中立的地图最可疑。

所以下次看地图时,不妨多加一句发问:这张地图是为什么而做的。屏幕上那个蓝点引向目的地的路线,新闻画面背后挂着的世界地图,房产应用展示的街区界线,全都是穿过某个人的目的之后画出来的图。地图不是拍下世界的照片,而是关于世界的一项主张,而主张永远留有反驳的余地。仅仅知道这一点,我们就能少受它一点支配。