공업수학 시리즈 10편: 라플라스 변환으로 초기값 문제 풀기

라플라스 변환의 가치는 정의보다도 실제로 초기값 문제를 매우 일관된 절차로 풀 수 있다는 데 있습니다. 이번 글에서는 그 흐름을 한 번 손으로 끝까지 따라가 보겠습니다.

가장 중요한 공식

함수 $y(t)$ 의 라플라스 변환을 $Y(s)$ 라 두면

$\mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0)$

$\mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$

입니다.

즉 초기조건이 자동으로 식 안에 들어옵니다. 이것이 초기값 문제에서 특히 편리한 이유입니다.

표준 절차

미분방정식 전체에 라플라스 변환을 취한다
초기조건을 대입해 $Y(s)$ 에 대한 대수식을 만든다
$Y(s)$ 를 정리한다
부분분수 분해 등을 이용해 역라플라스 변환한다

손으로 푸는 예제

다음 초기값 문제를 보겠습니다.

$y' + y = 1, \quad y(0)=0$

양변에 라플라스 변환을 취하면

$\mathcal{L}\{y'\} + \mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{1\}$

즉

$sY(s) - y(0) + Y(s) = \frac{1}{s}$

초기조건 $y(0)=0$ 을 넣으면

$sY(s) + Y(s) = \frac{1}{s}$

따라서

$Y(s)(s+1) = \frac{1}{s}$

$Y(s) = \frac{1}{s(s+1)}$

부분분수 분해를 하면

$\frac{1}{s(s+1)} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+1}$

이므로 역변환해서

$y(t) = 1 - e^{-t}$

를 얻습니다.

결과 해석

이 해는 시간이 0일 때 0에서 시작해 점차 1로 수렴합니다. 즉 시스템이 외부 입력 1에 대해 지수적으로 안정화되는 전형적인 1차 응답입니다.

라플라스 변환이 좋은 이유는, 이 과정을 적분인자법처럼 매번 새로 떠올릴 필요 없이 거의 기계적인 절차로 처리할 수 있다는 점입니다.

한 단계 더 생각하기

2차 문제에서도 똑같이 됩니다. 예를 들어

$y'' + 3y' + 2y = 0$

에 초기조건이 주어지면, 변환 후에는 $Y(s)$ 에 대한 유리식이 되고 결국 부분분수 분해 문제로 바뀝니다.

즉 라플라스 변환은 "미분방정식을 적분 문제로 바꾸는 도구"라기보다, 실전에서는 "미분방정식을 대수와 표 조회 문제로 바꾸는 도구"에 가깝습니다.

공학 응용

스텝 응답

제어공학에서 가장 흔히 보는 입력 중 하나가 계단입력입니다. 라플라스 영역에서는 계단입력이 단순히 $1/s$ 가 되므로 계산이 크게 단순해집니다.

임펄스 응답

시스템이 순간적인 충격을 받았을 때의 응답도 라플라스 변환 틀에서 깔끔하게 다룰 수 있습니다.

블록도 해석

전달함수를 연결하는 제어 블록도는 대부분 라플라스 영역 관점에서 해석됩니다.

자주 하는 실수

변환 후 식 정리를 급하게 한다

$Y(s)$ 항과 상수항을 차분히 정리하지 않으면 부호 실수가 잦습니다.

부분분수 분해를 건너뛴다

역변환은 보통 표준 형태가 보여야 쉽습니다. 따라서 분해 과정이 매우 중요합니다.

해석 없이 종료한다

결과가 $1 - e^{-t}$ 처럼 나왔다면, 반드시 시작값과 최종값, 증감 방향을 해석해 보는 습관이 필요합니다.

한 줄 요약

라플라스 변환은 초기조건이 있는 선형 미분방정식을 체계적인 대수 절차로 바꾸어 줍니다.

다음 편 예고

다음 글부터는 미분방정식의 언어를 조금 넓혀서, 여러 미지수를 한 번에 다루는 행렬과 선형연립방정식으로 들어가겠습니다.

참고자료

Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10th Edition
Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, Signals and Systems
Dennis G. Zill, Differential Equations with Boundary-Value Problems