공업수학 시리즈 18편: 푸리에 급수

푸리에 급수의 핵심 메시지는 놀라울 정도로 단순합니다. 복잡한 주기 함수도 사인과 코사인의 합으로 분해할 수 있다는 것입니다. 신호 처리와 PDE를 배우는 입장에서는 이 한 문장이 거의 출발점입니다.

왜 주기 함수를 분해할까

복잡한 파형을 그대로 다루는 것보다, 단순한 진동들의 합으로 보는 편이 해석하기 쉽습니다. 각 진동은 주파수와 진폭을 가지므로, 함수의 구조를 "어떤 주파수 성분이 얼마나 섞였는가"로 이해할 수 있습니다.

주기 $2L$ 인 함수의 푸리에 급수는 보통

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos \frac{n\pi x}{L} + b_n \sin \frac{n\pi x}{L}\right)

처럼 씁니다.

사인과 코사인은 서로 직교합니다. 즉 서로 다른 주파수 성분이 깔끔하게 분리됩니다. 이 덕분에 함수 안에 들어 있는 각 주파수의 양을 적분으로 뽑아낼 수 있습니다.

계수는 다음과 같이 구합니다.

$a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos \frac{n\pi x}{L}\,dx$

$b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin \frac{n\pi x}{L}\,dx$

즉 $f(x)$ 가 특정 주파수의 코사인이나 사인과 얼마나 닮았는지를 투영해서 측정하는 것입니다.

구간 $[-\pi, \pi]$ 에서

$f(x)=x$

를 생각해 보겠습니다. 이 함수는 홀함수이므로 코사인 계수는 0이고 사인 계수만 남습니다.

계산을 하면

$b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$

이 되어

x = 2\left(\sin x - \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{3}\sin 3x - \cdots \right)

처럼 쓸 수 있습니다.

여기서 중요한 점은, 직선 함수조차 주기적으로 이어 붙여 보면 진동 성분들의 합으로 나타낼 수 있다는 것입니다.

함수가 충분히 좋으면 푸리에 급수는 원래 함수에 수렴합니다. 불연속이 있는 경우에는 점프 양쪽 평균으로 가는 등 세부 규칙이 있지만, 입문 단계에서는 "좋은 함수라면 주파수 성분의 합으로 복원 가능하다"는 사실이 더 중요합니다.

오디오, 통신 신호, 센서 데이터는 모두 주파수 성분으로 해석하는 경우가 많습니다.

경계조건이 있는 PDE를 풀 때 해를 사인/코사인 급수로 전개하는 전략이 기본적으로 등장합니다.

중요한 주파수 성분만 남기거나, 특정 대역을 제거하는 관점이 여기서 출발합니다.

계수 공식은 암기보다 "투영"이라는 해석을 이해하면 훨씬 오래 갑니다.

대칭성을 활용하면 계산이 매우 단순해집니다.

푸리에 급수는 매우 강력하지만, 점프 근처에서는 별도의 수렴 해석이 필요합니다.

푸리에 급수는 주기 함수를 여러 주파수의 사인과 코사인 성분으로 분해하는 도구입니다.

다음 글에서는 주기 함수에서 한 걸음 더 나아가, 비주기 신호를 다루는 푸리에 변환과 주파수영역 관점을 살펴보겠습니다.