공업수학 시리즈 19편: 푸리에 변환과 주파수영역

푸리에 급수가 주기 함수를 다루는 도구였다면, 푸리에 변환은 더 일반적인 신호를 주파수 관점에서 해석하는 도구입니다. 신호 처리, 통신, 영상 처리에서 거의 기본 언어라고 볼 수 있습니다.

시간영역과 주파수영역

시간영역에서는 신호가 언제 어떻게 변하는지 봅니다. 주파수영역에서는 그 신호가 어떤 진동 성분들의 조합으로 이루어졌는지 봅니다. 같은 신호를 서로 다른 관점에서 보는 것입니다.

푸리에 변환은 보통

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,dt$

로 정의합니다.

이 식은 "신호 $f(t)$ 가 주파수 $\omega$ 의 복소 진동과 얼마나 닮았는가"를 측정하는 과정으로 볼 수 있습니다.

어떤 신호에 특정 주파수 성분이 강하게 들어 있으면, 그 주파수에 대응하는 변환값이 크게 나옵니다. 반대로 거의 포함되지 않으면 작게 나옵니다.

즉 푸리에 변환은 함수 전체를 한 번에 보는 대신, 주파수별로 분해해서 바라보는 렌즈입니다.

가우시안 함수의 푸리에 변환이 다시 가우시안으로 나온다는 사실은 매우 유명합니다. 세부 계산은 길지만, 핵심 메시지는 "시간영역에서 넓게 퍼진 함수는 주파수영역에서 비교적 좁고, 반대로 시간영역에서 매우 짧은 펄스는 주파수영역에서 넓게 퍼진다"는 것입니다.

입문 단계에서는 직사각형 펄스가 sinc 형태의 스펙트럼을 가진다는 예를 자주 봅니다. 즉 시간영역에서 딱 잘린 신호는 주파수영역에서 복잡한 꼬리를 갖습니다.

푸리에 변환의 가장 중요한 성질 중 하나는 미분이 곱셈으로 바뀐다는 점입니다.

$\mathcal{F}\{f'(t)\} = i\omega F(\omega)$

이 성질 때문에 미분방정식을 주파수영역에서 다루기 쉬워집니다.

또 하나 중요한 것은 합성곱이 곱셈으로 바뀐다는 점입니다.

$\mathcal{F}\{f*g\} = F(\omega)G(\omega)$

그래서 필터를 통과한 신호 해석이 크게 단순해집니다.

소리를 주파수 성분으로 분석하면 피치, 잡음, 배음 구조를 이해하기 쉽습니다.

채널 대역폭, 변조, 스펙트럼 효율 같은 개념은 주파수영역 해석과 분리할 수 없습니다.

영상도 2차원 푸리에 관점으로 보면 저주파와 고주파 성분으로 나뉘며, 블러나 샤프닝이 주파수 필터로 해석됩니다.

둘은 같은 신호를 보는 두 관점입니다. 하나에서 어려운 문제가 다른 쪽에서는 쉬워질 수 있습니다.

주파수는 실제로 얼마나 빠르게 진동하는가를 나타냅니다. 물리적 의미를 계속 연결해야 합니다.

실전에서는 정의보다도 미분, 이동, 스케일링, 합성곱 같은 성질이 더 자주 쓰입니다.

푸리에 변환은 비주기 신호를 주파수 성분으로 분해해 해석하는 도구입니다.

다음 글에서는 푸리에 관점을 바탕으로 편미분방정식이 무엇인지, 왜 종류를 나누는지를 입문 수준에서 정리하겠습니다.