공업수학 시리즈 16편: gradient, divergence, curl

벡터미적분은 연산 기호만 보면 어렵지만, 사실 세 가지 질문에 답하는 도구라고 생각하면 훨씬 단순해집니다.

어디로 가장 빨리 증가하는가
얼마나 퍼져 나가거나 모여드는가
얼마나 회전하는가

이 질문에 각각 대응하는 것이 gradient, divergence, curl입니다.

gradient

스칼라장 $f(x,y,z)$ 의 gradient는

$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$

입니다.

직관적으로는 가장 가파르게 증가하는 방향을 알려주는 벡터입니다.

예를 들어

$f(x,y)=x^2+y^2$

이면

$\nabla f = (2x,2y)$

입니다. 원점에서 멀어질수록 바깥쪽을 향하는 화살표가 더 커집니다. 즉 gradient는 등고선에 수직이고, "오르막 방향"을 가리킵니다.

divergence

벡터장 $\mathbf{F}=(P,Q,R)$ 의 divergence는

$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$

입니다.

직관적으로는 한 점 근처에서 벡터장이 밖으로 퍼져 나가는 정도를 뜻합니다.

양수면 source처럼 바깥으로 퍼짐
음수면 sink처럼 안으로 모임
0이면 순증가 없이 흐름이 보존됨

curl

벡터장 $\mathbf{F}$ 의 curl은 회전 성분을 나타냅니다. 3차원에서 정의되며, 2차원에서는 보통 "국소 회전"의 척도로 이해합니다.

직관적으로는 작은 바람개비를 그 점에 놓았을 때 얼마나 돌 것인가를 묻는 것과 비슷합니다.

예를 들어

$\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$

는 원점을 중심으로 회전하는 장이므로 curl이 0이 아닙니다.

손으로 보는 예제

벡터장

$\mathbf{F}(x,y,z) = (x, y, z)$

를 보겠습니다. divergence는

$\nabla \cdot \mathbf{F} = 1+1+1 = 3$

입니다. 이는 모든 방향으로 바깥으로 퍼져 나가는 source 같은 장이라는 뜻입니다.

반면

$\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$

는 공간 전체에서 원형 흐름을 만들기 때문에 divergence보다 회전 성분 해석이 더 중요합니다.

공학 응용

온도장

gradient는 온도가 가장 빠르게 증가하는 방향을 알려줍니다.

유체역학

divergence는 압축성이나 질량 보존과 연결되고, curl은 소용돌이와 연결됩니다.

전자기학

맥스웰 방정식은 gradient, divergence, curl의 언어로 쓰여 있다고 해도 과언이 아닙니다.

왜 정의보다 해석이 먼저인가

입문자가 가장 자주 하는 실수는 공식을 외우고 나서도 그 결과가 뭘 뜻하는지 모르는 것입니다. 예를 들어 divergence가 0이면 계산적으로는 단순한 숫자지만, 물리적으로는 "들어오는 양과 나가는 양이 균형"이라는 뜻입니다.

자주 하는 실수

gradient와 divergence를 같은 종류 연산으로 본다

gradient는 스칼라장에서 벡터를 만들고, divergence는 벡터장에서 스칼라를 만듭니다.

curl을 공식만으로 이해하려 한다

작은 회전의 강도라는 그림이 먼저 떠올라야 공식이 자연스럽습니다.

좌표 계산만 하고 field interpretation을 놓친다

물리적 의미를 같이 읽지 않으면 벡터미적분은 금방 암기 과목이 됩니다.

한 줄 요약

gradient는 증가 방향, divergence는 퍼짐, curl은 회전을 측정합니다.

다음 편 예고

다음 글에서는 선적분, 면적분, 그리고 그린 정리와 가우스 정리 같은 적분 정리가 왜 중요한지 보겠습니다.

참고자료

Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10th Edition
H. M. Schey, Div, Grad, Curl, and All That
David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics