공업수학 시리즈 12편: 소거법, 역행렬, 행렬식

선형연립방정식을 다루는 방법은 여러 가지가 있지만, 입문 단계에서는 세 가지 관점을 구분해서 이해하는 것이 좋습니다.

계산 절차로서의 소거법
개념적 표현으로서의 역행렬
가역성 판단 도구로서의 행렬식

이 셋은 서로 연결되어 있지만 역할이 다릅니다.

가우스 소거법

가우스 소거법은 행 연산을 이용해 시스템을 더 단순한 형태로 바꾸는 방법입니다. 실제 계산에서는 가장 기본적이고 실용적인 방법입니다.

예를 들어

\begin{aligned} 2x + y &= 5 \\ x - y &= 1 \end{aligned}

에서 두 번째 식을 두 배 해서 첫 번째 식에서 빼는 방식으로 미지수를 하나씩 제거할 수 있습니다.

소거법의 장점은 계산이 체계적이고, 해가 없는지 여러 개인지도 자연스럽게 드러난다는 점입니다.

역행렬

행렬 $A$ 가 가역이면

$A^{-1}A = I$

를 만족하는 역행렬이 존재합니다. 그러면

$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$

의 해를

$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$

로 쓸 수 있습니다.

이 식은 매우 깔끔하지만, 실제 수치 계산에서는 무조건 역행렬을 직접 구하는 것이 최선은 아닙니다. 그래서 역행렬은 계산 도구이기도 하지만, 그보다 개념적 도구로 이해하는 편이 더 중요합니다.

행렬식

행렬식은 정방행렬의 가역성을 판단하는 중요한 숫자입니다. 2차 행렬에서는

\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc

입니다.

행렬식이 0이 아니면 가역이고, 0이면 특이행렬입니다.

즉

\det(A) \neq 0 \quad \Rightarrow \quad A^{-1} \text{ exists}

입니다.

손으로 푸는 예제

행렬

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

의 행렬식은

$\det(A) = 2(-1) - 1\cdot1 = -3$

입니다. 0이 아니므로 가역입니다.

연립식

A\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}

은 유일한 해를 가집니다. 실제로 풀면 $(x, y) = (2, 1)$ 입니다.

여기서 중요한 것은 숫자 자체보다, 행렬식이 "이 시스템이 한 점으로 모이는가"를 알려준다는 점입니다.

공학 응용

시뮬레이션과 수치해석

큰 선형시스템은 대부분 소거법 계열 알고리즘으로 풉니다.

로봇공학과 그래픽스

좌표변환 행렬이 가역인지 여부는 원래 상태 복원이 가능한지와 연결됩니다.

데이터 과학

정규방정식이나 선형회귀를 풀 때도 행렬의 조건성과 가역성이 매우 중요합니다.

자주 하는 실수

역행렬만 찾으려고 한다

작은 예제에서는 괜찮지만, 실제 계산에서는 소거법이나 분해법이 더 핵심입니다.

행렬식을 "그냥 공식"으로 외운다

행렬식은 단순한 계산 문제가 아니라, 변환이 공간을 얼마나 찌그러뜨리는지 보여주는 정보입니다.

행 연산의 의미를 놓친다

행 연산은 식을 바꾸는 것이 아니라, 같은 해를 가진 동치 시스템으로 옮겨 가는 과정입니다.

한 줄 요약

소거법은 푸는 방법, 역행렬은 표현 도구, 행렬식은 가역성 판단 도구라고 이해하면 구조가 정리됩니다.

다음 편 예고

다음 글에서는 선형대수에서 가장 중요한 아이디어 중 하나인 고유값과 고유벡터를 살펴보겠습니다.

참고자료

Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10th Edition
Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra
Lloyd N. Trefethen, David Bau III, Numerical Linear Algebra