工業数学シリーズ 第3回：変数分離法、積分因子法、完全微分方程式

1次微分方程式は種類が多様に見えますが、入門段階ではまず3つの代表パターンを身につければ十分です。核心は式を見た瞬間に「これはどの形態か」を分類する目を作ることです。

1. 変数分離法

最初に見る形態は以下の通りです。

$$\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$$

この式は$x$に関する項と$y$に関する項を両辺に分けることができれば解けます。

$$\frac{1}{h(y)}dy = g(x)dx$$

両辺を積分すると

$$\int \frac{1}{h(y)} \, dy = \int g(x) \, dx + C$$

となります。

例題

$$\frac{dy}{dx} = xy$$

であれば

$$\frac{1}{y}dy = xdx$$

で、積分して

$$\ln |y| = \frac{x^2}{2} + C$$

したがって

$$y = Ce^{x^2/2}$$

を得ます。

直観

変数分離法は「変化率が2つの要素の積に分解されるとき」に強力です。成長率が時間の効果と現在の状態の効果に分かれる状況でよく現れます。

2. 積分因子法

次のような形の線形1次方程式は積分因子法で解くのが標準です。

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

核心のアイデアは、ある関数$\mu(x)$を掛けて左辺を一度に微分できる形にすることです。

積分因子は

$$\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}$$

です。両辺に掛けると

$$\mu(x)\frac{dy}{dx} + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x)$$

となり、左辺は

$$\frac{d}{dx}\left[\mu(x)y\right] = \mu(x)Q(x)$$

にまとまります。

例題

$$\frac{dy}{dx} + y = x$$

では$P(x) = 1$なので

$$\mu(x) = e^{\int 1\,dx} = e^x$$

です。両辺に$e^x$を掛けると

$$\frac{d}{dx}(e^x y) = xe^x$$

積分すると

$$e^x y = \int xe^x \, dx = e^x(x-1) + C$$

したがって

$$y = x - 1 + Ce^{-x}$$

を得ます。

工学的意味

積分因子法は、RC・RL回路や単純な熱平衡モデルのように「現在の状態を引き寄せる項」があるシステムによく登場します。

3. 完全微分方程式

次の形態を見てみましょう。

$$M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$$

この式があるスカラー関数$F(x, y)$の全微分

$$dF = \frac{\partial F}{\partial x}dx + \frac{\partial F}{\partial y}dy$$

として解釈できれば、解は単純に

$$F(x, y) = C$$

となります。このとき式を**完全微分方程式**と呼びます。

判定条件は

$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$$

です。

例題

$$ (2xy + 1)dx + (x^2 + 3y^2)dy = 0 $$

を見ると

$$M(x, y) = 2xy + 1, \quad N(x, y) = x^2 + 3y^2$$

です。そして

$$\frac{\partial M}{\partial y} = 2x, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 2x$$

なので完全です。

$M$を$x$について積分すると

$$F(x, y) = \int (2xy + 1)\,dx = x^2y + x + g(y)$$

です。これを$y$で微分して$N$と比較すると

$$\frac{\partial F}{\partial y} = x^2 + g'(y) = x^2 + 3y^2$$

なので

$$g'(y) = 3y^2, \quad g(y) = y^3$$

です。したがって解は

$$x^2y + x + y^3 = C$$

となります。

どう区別するか

問題を見たら次の順序で考えると良いでしょう。

1. $x$と$y$をきれいに分離できるか

2. 線形標準形$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$に見えるか

3. 微分形態で書いて完全条件を検査できるか

最初はこの3つだけでも非常に多くの入門問題を処理できます。

手で解く短い例題

初期値問題

$$\frac{dy}{dx} = 3x^2, \quad y(0)=4$$

は変数分離よりもそのまま積分する方が簡単です。

$$dy = 3x^2 dx$$

積分すると

$$y = x^3 + C$$

初期条件を入れると

$$4 = 0 + C$$

なので

$$y = x^3 + 4$$

です。

この例題は非常に単純ですが、「一般解を求めて初期条件で定数を決める」という基本手順を確認するのに良い例です。

よくある間違い

形態を無理に当てはめる

分離できない式を無理に変数分離しようとすると計算が狂います。まず分類が優先です。

積分因子を間違って計算する

積分因子は$e^{\int P(x)\,dx}$です。$Q(x)$まで一緒に積分してしまう間違いがよく起こります。

完全条件を検査せずに積分する

完全微分方程式は必ず条件を先に確認しなければなりません。そうしなければ存在しないポテンシャル関数を無理に見つけようとすることになります。

一行まとめ

1次微分方程式は計算よりも先に「変数分離型、線形型、完全型」のどれかを見極めることが核心です。

次回予告

次の記事では1次を超えて**2次線形微分方程式**に進み、工学システムの振動と応答を本格的に扱います。

参考資料

- Erwin Kreyszig, _Advanced Engineering Mathematics_, 10th Edition

- William E. Boyce, Richard C. DiPrima, _Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems_

- MIT OpenCourseWare, Differential Equations