공업수학 시리즈 3편: 변수분리, 적분인자, 완전미분

1차 미분방정식은 종류가 다양해 보이지만, 입문 단계에서는 먼저 세 가지 대표 패턴을 익히면 됩니다. 핵심은 식을 보자마자 "이건 어떤 형태인지" 분류하는 눈을 만드는 것입니다.

1. 변수분리법

가장 먼저 보는 형태는 다음과 같습니다.

$\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$

이 식은 $x$에 관한 항과 $y$에 관한 항을 양변으로 나눌 수 있으면 풀립니다.

$\frac{1}{h(y)}dy = g(x)dx$

양변을 적분하면

$\int \frac{1}{h(y)} \, dy = \int g(x) \, dx + C$

가 됩니다.

예제

$\frac{dy}{dx} = xy$

라면

$\frac{1}{y}dy = xdx$

이고 적분해서

$\ln |y| = \frac{x^2}{2} + C$

따라서

$y = Ce^{x^2/2}$

를 얻습니다.

직관

변수분리법은 "변화율이 두 요소의 곱으로 분해될 때" 강합니다. 성장률이 시간의 효과와 현재 상태의 효과로 나뉘는 상황에서 자주 나옵니다.

2. 적분인자법

다음처럼 생긴 선형 1차 방정식은 적분인자법으로 푸는 것이 표준입니다.

$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$

핵심 아이디어는 어떤 함수 $\mu(x)$를 곱해서 왼쪽을 한 번에 미분되는 꼴로 만드는 것입니다.

적분인자는

$\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}$

입니다. 양변에 곱하면

$\mu(x)\frac{dy}{dx} + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x)$

이고, 왼쪽은

$\frac{d}{dx}\left[\mu(x)y\right] = \mu(x)Q(x)$

로 묶입니다.

예제

$\frac{dy}{dx} + y = x$

에서는 $P(x) = 1$이므로

$\mu(x) = e^{\int 1\,dx} = e^x$

입니다. 양변에 $e^x$를 곱하면

$\frac{d}{dx}(e^x y) = xe^x$

이제 적분하면

$e^x y = \int xe^x \, dx = e^x(x-1) + C$

따라서

$y = x - 1 + Ce^{-x}$

를 얻습니다.

공학적 의미

적분인자법은 RC, RL 회로나 단순 열평형 모델처럼 "현재 상태를 끌어당기는 항"이 있는 시스템에 자주 등장합니다.

3. 완전미분방정식

다음 형태를 보겠습니다.

$M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$

이 식이 어떤 스칼라 함수 $F(x, y)$의 전체미분

$dF = \frac{\partial F}{\partial x}dx + \frac{\partial F}{\partial y}dy$

로 해석되면, 해는 단순히

$F(x, y) = C$

가 됩니다. 이때 식을 완전미분방정식이라고 합니다.

판정 조건은

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$

입니다.

예제

$(2xy + 1)dx + (x^2 + 3y^2)dy = 0$

를 보면

$M(x, y) = 2xy + 1, \quad N(x, y) = x^2 + 3y^2$

입니다. 그런데

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2x, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 2x$

이므로 완전합니다.

이제 $M$을 $x$에 대해 적분하면

$F(x, y) = \int (2xy + 1)\,dx = x^2y + x + g(y)$

입니다. 이것을 $y$로 미분해 $N$과 비교하면

$\frac{\partial F}{\partial y} = x^2 + g'(y) = x^2 + 3y^2$

이므로

$g'(y) = 3y^2, \quad g(y) = y^3$

입니다. 따라서 해는

$x^2y + x + y^3 = C$

가 됩니다.

어떻게 구분할까

문제를 보면 다음 순서로 생각하면 좋습니다.

1. $x$와 $y$를 깔끔하게 분리할 수 있는가
2. 선형 표준형 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$로 보이는가
3. 미분형태로 써서 완전 조건을 검사할 수 있는가

처음에는 이 세 가지 만으로도 매우 많은 입문 문제를 처리할 수 있습니다.

손으로 풀어보는 짧은 예제

초기값 문제

$\frac{dy}{dx} = 3x^2, \quad y(0)=4$

는 변수분리보다 바로 적분이 더 쉽습니다.

$dy = 3x^2 dx$

적분하면

$y = x^3 + C$

초기조건을 넣으면

$4 = 0 + C$

이므로

$y = x^3 + 4$

입니다.

이 예제는 아주 단순하지만, "일반해를 구하고 초기조건으로 상수를 정한다"는 기본 절차를 확인하기 좋습니다.

자주 하는 실수

형태를 억지로 맞춘다

분리되지 않는 식을 억지로 변수분리하려고 하면 계산이 틀어집니다. 먼저 분류가 우선입니다.

적분인자를 잘못 계산한다

적분인자는 $e^{\int P(x)\,dx}$입니다. $Q(x)$까지 같이 적분하는 실수가 자주 나옵니다.

완전 조건을 검사하지 않고 적분한다

완전미분방정식은 반드시 조건을 먼저 확인해야 합니다. 그렇지 않으면 존재하지 않는 퍼텐셜 함수를 억지로 찾게 됩니다.

한 줄 요약

1차 미분방정식은 계산보다 먼저 "변수분리형, 선형형, 완전형" 중 무엇인지 알아보는 것이 핵심입니다.

다음 편 예고

다음 글에서는 1차를 넘어 2차 선형 미분방정식으로 가서, 공학 시스템의 진동과 응답을 본격적으로 다뤄보겠습니다.

참고자료

• Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10th Edition
• William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems
• MIT OpenCourseWare, Differential Equations