机器人学所需的数学,按顺序学:以及哪些可以先放一放

• 引言 —— 「想搞机器人,数学该先学什么」
• 线性代数 —— 六条分支里唯一不能延后的一条
• 三角学与旋转表示 —— 一个函数就占了一半
• 微积分与多变量方法 —— 雅可比矩阵就是一张偏导数表
• 微分方程与控制理论 —— 在手动调增益之前
• 概率与估计 —— 当传感器在撒谎的时候
• 优化 —— 逆运动学和轨迹规划,说到底都是这个
• 按顺序整理 —— 什么时候学什么,什么放到以后
• 结语 —— 同样的工具会反复出现

引言 —— 「想搞机器人,数学该先学什么」

这个问题常见的答案有两种。一种是「线性代数和微积分」,但范围太大,不知道该在哪里停下来。另一种是把研究生课程表原样照搬过来的清单,而把那份清单全部学完才开始做机器人的人,几乎不存在。

问题不在清单本身,而在顺序和深度。做机械臂的过程中,会在某些时刻需要用到数学,而每个时刻所需的深度天差地别。把旋转矩阵相乘,本科一年级第一个月就够用;而要理解为什么关节速度在奇异点附近会发散,得一路学到奇异值分解,两者之间差了好几个学期。可如果把这两件事塞进同一张清单里,人往往在第一行就停下来了。

所以这篇文章按顺序整理六条分支,每条分支都写清楚三件事:

• 在机械臂的哪个环节被精确地用到
• 学到什么程度算够用
• 哪些可以放到后面再学

第三点最重要。大多数人卡住的地方,恰恰是「这个不学是不是也能往下走」这件事变得没把握的那一刻。把可以延后的东西明确标出来,进度才能往前推。

这篇文章是从机械臂结构出发,经过正运动学和逆运动学,一路走到控制回路这个系列的最后一篇。前四篇文章已经把该算的都算完了,这篇文章要回头看看,这些计算底下到底铺着什么。

线性代数 —— 六条分支里唯一不能延后的一条

在机器人学里,线性代数不是一种工具,而是一门语言。其余五条分支都可以等需要的时候再学,唯独这一条不行。看不懂旋转矩阵,连正运动学的第一行都读不下去。

用在哪里。 旋转矩阵、齐次变换矩阵、雅可比矩阵、惯性矩阵——这些全都是矩阵。给每根连杆挂一个坐标系、在它们之间来回转换,做的全都是基变换。奇异点正是雅可比矩阵的秩下降,可操作度由奇异值定义,冗余机器人的零空间,字面意思上就是零空间。

按深度拆开来看:

第一,矩阵乘法与向量。 马上就要用到。需要能手算 3×3 和 4×4 矩阵的乘法,并且从骨子里知道乘法顺序一变,结果就跟着变。T01 · T12 和 T12 · T01 不同,光这一个事实,就能挡掉一半的坐标系符号错误。

第二,基变换。 这个也马上要用到。把这一个概念吃透,正运动学基本上就算完成了。

如果只把旋转矩阵当成「让东西转起来的运算」,要背的东西会越来越多。不如去读它的列。 旋转矩阵的第一列,是旋转后坐标系的 x 轴在原坐标系里指向哪个方向;第二列是 y 轴;第三列是 z 轴。

R = [ x̂'  ŷ'  ẑ' ]     ← 把新坐标系的三根轴当作列并排写出来

所以 R · p_local 的意思就是
「把 p_local 的各个分量,沿着新的轴方向做加权求和」。

这样看,旋转矩阵的性质就不再是要背的东西,而是理所当然的事。各列互相正交、长度为 1,说的就是坐标轴正交、单位长度,所以逆矩阵才等于转置。它不过是把轴列成了一张表,反过来读就是逆变换。

第三,秩与零空间。 到正运动学为止都用不上,进入逆运动学之后就需要了。

如果雅可比矩阵是 6×6,但秩掉到了 5,末端能移动的方向就从六维缩减到了五维。丢掉的那一个方向,正是奇异点上去不了的那个方向。反过来,在一条七关节的手臂上,雅可比矩阵是 6×7,会剩下一个一维的零空间。在这个零空间里活动关节,末端保持不动,只有肘部在动。冗余自由度正是这种结构。

第四,奇异值分解。 一旦开始用数值方法求解逆运动学就需要了。而且这个工具是分析雅可比矩阵的主力。

SVD 把一个矩阵拆成三个阶段。

J = U · Σ · Vᵀ

V  : 关节空间里「该用哪种组合来动」的主轴
Σ  : 那种组合会被放大多少倍、变成末端速度(奇异值,对角)
U  : 作业空间里「结果指向哪个方向」的主轴

为什么雅可比矩阵偏偏要用 SVD,看清楚奇异值的含义就明白了。每一个奇异值都是那个特定方向上的速度传递比。奇异值大的方向,意味着关节稍微一转,末端就动很多;奇异值小的方向,意味着关节要转很多,末端才动一点点。

由此,奇异点是什么也就自然而然地推出来了。就是最小奇异值趋于零的那一点。想沿那个方向移动末端,就需要无穷大的关节速度。所以最小奇异值天然就是「离奇异点还有多远」的度量,而最大值和最小值之比,也就是条件数,用一个数字就能告诉你手臂当前姿态有多「平衡」。

自己确认一遍,比读解释更快。来分解一下两连杆平面手臂(上臂 0.20 米,前臂 0.15 米)的雅可比矩阵,同时扫描肘部角度看看变化。

import numpy as np

L1, L2 = 0.20, 0.15


def jacobian(t1, t2):
    """两连杆平面手臂的解析雅可比矩阵。每一列是一个关节的贡献。"""
    s1, c1 = np.sin(t1), np.cos(t1)
    s12, c12 = np.sin(t1 + t2), np.cos(t1 + t2)
    return np.array([
        [-L1 * s1 - L2 * s12, -L2 * s12],
        [ L1 * c1 + L2 * c12,  L2 * c12],
    ])


def fk(t1, t2):
    return np.array([L1 * np.cos(t1) + L2 * np.cos(t1 + t2),
                     L1 * np.sin(t1) + L2 * np.sin(t1 + t2)])


print(" 肘部角度   σ_max     σ_min     条件数")
for deg in [90, 45, 20, 10, 5, 1, 0.1]:
    J = jacobian(np.radians(30), np.radians(deg))
    sv = np.linalg.svd(J, compute_uv=False)
    print(f"  {deg:6.1f}°  {sv[0]:.6f}  {sv[1]:.6f}  {sv[0] / sv[1]:12.1f}")

运行结果如下。

 肘部角度   σ_max     σ_min     条件数
    90.0°  0.269451  0.111337           2.4
    45.0°  0.351840  0.060292           5.8
    20.0°  0.375011  0.027361          13.7
    10.0°  0.379341  0.013733          27.6
     5.0°  0.380427  0.006873          55.4
     1.0°  0.380774  0.001375         276.9
     0.1°  0.380789  0.000138        2769.3

肘部越伸直,最小奇异值就越往零走,条件数随之爆炸。角度从 10 度减到 1 度、再减到 0.1 度,条件数几乎精确地每次放大 10 倍:27.6、276.9、2769.3。这是因为最小奇异值几乎和角度成正比地缩小。逆运动学那篇文章里说过手臂完全伸直的姿态就是奇异点,这句话此刻正以数字的形式,原原本本地摆在这张表里。

而阻尼最小二乘法为什么行得通,到这里也能解释清楚了。伪逆矩阵是把奇异值直接反转成 1/σ,所以 σ 趋近于零时就会发散。加上阻尼之后,变成 σ / (σ² + λ²) 的形式:σ 较大时和 1/σ 几乎一样,σ 趋近于零时则平滑地趋向零。在奇异点上,不再是趋向无穷大,而是变成「那个方向就放弃了」。不用 SVD 想解释清楚这一点,会困难得多。

学到什么程度算够用。 能手算 3×3 矩阵的乘法和转置,知道旋转矩阵的列就是轴,能用语言解释秩和零空间,知道 SVD 的三个部分各自是什么,就够了。计算本身交给 numpy.linalg.svd 就行。如果只需要奇异值,把 compute_uv 设为假,就不用计算 U 和 Vᵀ,速度更快——上面的代码正是这么写的。

哪些可以放到后面。 抽象向量空间的公理、若尔当标准形、行列式的代数余子式展开、格拉姆-施密特正交化的手算、张量记法。这些在机械臂上基本用不上,就算哪天真的需要了,到那时候现学也不迟。

三角学与旋转表示 —— 一个函数就占了一半

这条分支内容不多,但出错率很高。

用在哪里。 两连杆和三连杆手臂的逆运动学解析解,是靠余弦定理解出来的。旋转表示解决的是末端姿态该存成什么、该怎么插值的问题。

先从一个函数讲起:atan2。

import numpy as np

# atan2(y, x) 会分别看两个符号,所以能区分象限。
print(np.degrees(np.arctan2( 1.0,  1.0)))   #   45.0
print(np.degrees(np.arctan2( 1.0, -1.0)))   #  135.0
print(np.degrees(np.arctan2(-1.0, -1.0)))   # -135.0

# 而如果只传入一个比值,就没法区分第1象限和第3象限。
print(np.degrees(np.arctan(1.0 /  1.0)))    #   45.0
print(np.degrees(np.arctan(-1.0 / -1.0)))   #   45.0  ← 实际上是-135度

机械臂代码里肩部角度突然反转 180 度的 bug,大多数都是这么来的。求角度时,不要只传一个相除之后的比值,应该把 y 和 x 分开传进去。光这一个习惯,就能省掉一大半排查符号错误的时间。

asin 和 acos 也有同样的陷阱。它们的定义域是被截断的,一旦舍入误差让输入略微超过 1,就会得到 NaN。用余弦定理求肘部角度的代码里,当目标点恰好落在两连杆长度之和的距离上时,这种情况真的会发生。需要有一行代码去裁剪输入。

cos_t2 = np.clip(cos_t2, -1.0, 1.0)   # 没有这一行,边界处会出现NaN

旋转表示有四种,各自用在不同的地方。

实务中这张表的意思很简单:在人接触的边界用欧拉角,内部计算用旋转矩阵或四元数。 而且把两者之间的转换集中放在一个地方,能减少符号错误。

欧拉角的顺序约定尤其需要小心。同样三个数字,按不同约定会代表不同的旋转。混用两个库之后如果姿态看起来不对,先检查约定是否一致。

学到什么程度算够用。 能反射性地用 atan2,能用余弦定理解三角形;对四元数,知道「相乘就是合成旋转,必须保持归一化,插值用 slerp」就够了。不需要去推导四元数代数。

哪些可以放到后面。 四元数的代数构造、李群与李代数、指数映射与对数映射、旋量理论。这些以后会非常有用,尤其是能让基于优化的控制代码变得干净,但动第一条手臂用不上它们。等你把一条串联手臂从头到尾做完一遍,再回头看这些内容,会好懂得多。

微积分与多变量方法 —— 雅可比矩阵就是一张偏导数表

用在哪里。 几乎全是雅可比矩阵。而雅可比矩阵在机械臂上会出现三次:速度关系里、力关系里,以及扩展卡尔曼滤波器的线性化步骤里。

「雅可比矩阵」这个名字听起来吓人,实质却很简单。它是把每个输出对每个输入求偏导之后的值,排成一张网格。

如果末端位置是 (x, y),关节是 (θ1, θ2),

J = [ ∂x/∂θ1   ∂x/∂θ2 ]
    [ ∂y/∂θ1   ∂y/∂θ2 ]

第 j 列 = 「只让 θj 以 1 rad/s 转动时,末端移动的方向和大小」

养成这样按列去读的习惯,雅可比矩阵就变得很直观了。在手臂完全伸直的姿态下,两列会几乎指向同一个方向,于是这两列能张成的方向范围就变窄了——这正是前一节里最小奇异值趋于零的那个现象。同一个事实,既能从偏导数看到,也能从 SVD 看到。

这里有个值得养成的实务习惯。推导出解析雅可比矩阵之后,一定要用数值微分交叉验证。 一个符号错了的雅可比矩阵会让逆运动学收敛到完全错误的方向,而症状往往只表现为「收敛得比较慢」,原因很难找。

def numeric_jacobian(f, q, eps=1e-6):
    """用中心差分近似雅可比矩阵。用来核对解析解。"""
    q = np.asarray(q, dtype=float)
    base = f(*q)
    J = np.zeros((len(base), len(q)))
    for j in range(len(q)):
        dq = np.zeros_like(q)
        dq[j] = eps
        J[:, j] = (f(*(q + dq)) - f(*(q - dq))) / (2 * eps)
    return J


q = np.radians([30.0, 40.0])
Ja = jacobian(*q)
Jn = numeric_jacobian(fk, q)

print("解析雅可比矩阵:\n", np.round(Ja, 8))
print("数值雅可比矩阵:\n", np.round(Jn, 8))
print("最大误差      :", np.max(np.abs(Ja - Jn)))

运行结果如下。

解析雅可比矩阵:
 [[-0.24095389 -0.14095389]
 [ 0.2245081   0.05130302]]
数值雅可比矩阵:
 [[-0.24095389 -0.14095389]
 [ 0.2245081   0.05130302]]
最大误差      : 2.6600312230673495e-11

误差在 1e-9 量级说明推导是对的,在 1e-2 量级说明哪里出错了。如果出现中间量级的误差,通常不是符号错了,而是把单位(角度和弧度)搞混了。

链式法则也是在这里露出真面目的。在六关节的手臂上,末端位置是六个角度的复合函数,求雅可比矩阵就是对这个复合函数求导。求导的过程,和把各个坐标系相乘串起来的结构是一样的。

学到什么程度算够用。 能计算偏导数,会用链式法则,知道梯度指向上升最快的方向,能用数值微分做核对,就够了。手工推导解析雅可比矩阵,做到两连杆和三连杆就足以找到手感。六连杆的交给库去处理。

哪些可以放到后面。 微分几何、流形上的微积分、变分法、张量微积分。而且积分用得出乎意料地少。机械臂上出现积分的地方,是 PID 的 I 项和轨迹的累积量,两者都是用离散求和来实现的,所以用不上解析积分技巧。

微分方程与控制理论 —— 在手动调增益之前

用在哪里。 手臂为什么会猛地一抖,PID 的三个项为什么各自扮演那样的角色,控制周期为什么会侵蚀稳定性——这些全都属于这条分支。

机械臂的运动方程长这样。

M(q)·q̈  +  C(q, q̇)·q̇  +  g(q)  =  τ

M(q)      惯性矩阵 —— 随姿态变化
C(q, q̇)  科里奥利力与离心力 —— 正比于速度的平方
g(q)      重力项 —— 只取决于姿态
τ         关节扭矩 —— 我们要产生的东西

不需要去解这个方程,但必须能读懂它。能看出三件事。第一,惯性不是常数,而是姿态的函数,所以手臂折叠时调好的增益,伸展开之后就不对了。第二,存在一个正比于速度平方的项,所以动得越快,非线性就越强。第三,重力项与速度无关、始终存在,所以提前用前馈把重力补偿掉,能大幅减轻反馈要做的工作。

控制理论里真正需要上手的,是一个二阶系统。

标准形:   ẍ  +  2ζωn·ẋ  +  ωn²·x  =  ωn²·u

ωn  固有频率 —— 有多快
ζ   阻尼比   —— 怎样到达

ζ < 1   欠阻尼,冲过头再折回来(超调)
ζ = 1   临界阻尼,不超调的情况下最快
ζ > 1   过阻尼,慢慢地渗进去

给单个关节接上 PD 控制器,正好就是这个形式。P 增益对应 ωn²,D 增益对应 2ζωn。看清这一点之后,调增益的意义就变了。不再是凭感觉去拨弄两个数字,而是先决定「要多快(ωn)、以什么方式(ζ)到达」,再把它换算成增益。

知道这层对应关系,常见症状立刻就能诊断出来。超调大,说明 ζ 偏小,该调高 D。慢而且不超调,说明 ωn 偏小,该把 P 和 D 一起调高。只调高 P,速度是上去了,但 ζ 会下降,于是又产生超调。这个关系正是控制回路那篇文章里调增益那部分工作背后的原理。

延迟问题也是从这里冒出来的。控制周期长,或者传感器滤波器带来延迟,反馈就会对着一个过时的误差做出反应,这意味着相位向后偏移了。相位裕度一旦变小,哪怕只是把增益稍微调高一点,系统也会开始振荡。「把采样率提高一倍之后,增益就能调得更高了」这种经验,正是这套理论的直接推论。

学到什么程度算够用。 能看着二阶系统标准形读出 ζ 和 ωn,知道它们怎么对应到 PD 增益,知道延迟会侵蚀相位裕度,就够了。拉普拉斯变换只需要知道「求导变成乘法」以及极点位置决定响应形状这两个概念就行。

哪些可以放到后面。 状态空间最优控制(LQR)、鲁棒控制、李雅普诺夫稳定性证明、奈奎斯特判据的严格应用、自适应控制。这些在把机械臂做成产品的阶段会用得上,但在刚开始让手臂动起来的阶段,PD 加重力补偿就已经能走得相当远了。

概率与估计 —— 当传感器在撒谎的时候

用在哪里。 编码器是量化的,IMU 会漂移,视觉会随光照晃动。当多个传感器的读数彼此不一致时,该相信谁,这就是这条分支要解决的问题。

这条分支比前面四条更晚才需要。 只做位置控制、只用一个编码器、并且直接相信它读数的手臂,大体上也能凑合运转。概率通常是在传感器数量超过一个之后才开始变得必要——给手臂装上相机,加一个 IMU,加一个力传感器。

核心概念有三个。

第一,如何用数字写出不确定性。 不再只用一个测量值,而是用「均值和方差」这一对数字来处理。到了多维情形,就变成协方差矩阵,而这个矩阵就是一个椭圆,描述不确定性在哪个方向上散布了多少。线性代数在这里又出现了——协方差矩阵的特征向量是椭圆的轴,特征值是轴的长度。

第二,不确定性的传播。 用不准确的关节角度去算正运动学,末端位置也会跟着不准确。到底有多不准确,用雅可比矩阵来算。

当关节角度的协方差是Σq时,末端位置的协方差是

Σx  ≈  J · Σq · Jᵀ

雅可比矩阵又出现了。这正是这篇文章说雅可比矩阵会出现三次的原因。而且这个公式说出了一件实务上很重要的事:在奇异点附近,雅可比矩阵会在特定方向上大幅放大,于是同样的编码器误差,到了末端就会变成大得多的误差。奇异点不只是速度的问题,也是精度的问题。

第三,卡尔曼滤波器。 名字听起来吓人,但在一维情形下一句话就能讲完。当预测值和测量值各自带着不确定性时,把两者按精度(方差的倒数)做加权平均。

预测:  x̂ = 5.0,  方差 = 4.0   (精度 0.25)
测量:  z  = 6.0,  方差 = 1.0   (精度 1.00)

权重 = 1.00 / (0.25 + 1.00) = 0.8       ← 这就是卡尔曼增益
更新值 = 5.0 + 0.8 × (6.0 - 5.0) = 5.8
更新方差 = 1 / (0.25 + 1.00) = 0.8       ← 比两者中的任何一个都小

因为测量更准,结果就更偏向测量值;因为合并了两份信息,不确定性也随之降低。这就是全部内容。多维卡尔曼滤波器不过是把这套计算搬到矩阵上,扩展卡尔曼滤波器则是每一步都用雅可比矩阵把非线性模型线性化,再做同样的计算。

学到什么程度算够用。 理解高斯分布的均值和方差,对协方差矩阵是个椭圆有直觉,能手算上面那个一维卡尔曼更新,就够了。实际实现交给库,但必须知道调节参数——过程噪声和测量噪声——到底代表什么。

哪些可以放到后面。 粒子滤波、因子图与图 SLAM、贝叶斯推断的理论基础、信息滤波器、无迹卡尔曼滤波器。而且如果只做机械臂,整个 SLAM 都可以放到后面。SLAM 是移动机器人的问题,不会出现在基座固定的手臂上。

优化 —— 逆运动学和轨迹规划,说到底都是这个

用在哪里。 这条分支的要点在于,前面分开学的东西,到这里会汇聚到同一个框架下。

数值逆运动学是一个最小二乘问题:寻找能让目标位置和当前位置之差最小的关节角度。阻尼最小二乘法在这基础上又加了一项关于关节速度大小的惩罚,也就是正则化的最小二乘法,和机器学习里的岭回归是同一种结构。

普通最小二乘:   minimize  ‖J·Δq - Δx‖²
阻尼最小二乘:   minimize  ‖J·Δq - Δx‖²  +  λ²·‖Δq‖²
                                          └── 这一项阻止了发散

轨迹规划也是优化问题。最小加加速度轨迹是把加加速度平方的积分最小化之后的结果,时间最优轨迹是在扭矩和速度限制下把时间最小化之后的结果。控制回路那篇文章里推导五次多项式,也是同一类问题——在满足六个边界条件的函数里,挑出最平滑的那一个。

如今手臂控制的标准做法,是把速度层面的逆运动学当成二次规划(QP)来求解。目标是让末端以指定速度运动,而关节角度限制、关节速度限制、避碰这些约束,都以不等式的形式加进去。这是一种把原本逐个处理的问题,捆绑成一个问题一起解决的方式。

这里有三个值得了解的概念。

凸与非凸的区别。 凸问题里,局部解就是全局解,所以不管从哪里出发都会到达同一个地方。最小二乘和 QP 都属于这一类。而位置层面的逆运动学是非凸的,所以不同的初值会走到不同的解上——肘部朝上弯的解和朝下弯的解同时都是正确答案,正是这种情形。在非凸问题里,初值本身就是算法的一部分。 用上一次的姿态作为初值,原因就在这里。

正则化的含义。 把惩罚项的系数调高,解会变得更小、更稳定,但跟踪目标的效果会变差。调节阻尼最小二乘法的阻尼系数,正是在做这个取舍;只在奇异点附近才加大阻尼这种技巧,是根据情况动态调整这个取舍的位置。

有约束问题与无约束问题。 把关节限制当作惩罚项加进去,和当作不等式约束加进去,是两回事。惩罚项允许解稍微超出限制,约束则不允许。在真实硬件上,超出关节限制意味着物理上真的会撞上去,所以约束这种做法才是对的。

学到什么程度算够用。 能把最小二乘问题写成正规方程,知道正则化项在做什么,知道凸性和初值依赖性之间的关系,知道梯度下降是怎么运作的,就够了。QP 求解器交给库来处理。

哪些可以放到后面。 内点法的实现、对偶理论与 KKT 条件的推导、序列二次规划(SQP)的细节、轨迹优化里直接法和间接法的比较。这些是自己写求解器或者写论文时才需要的。要让手臂动起来,会调用求解器就够了。

按顺序整理 —— 什么时候学什么,什么放到以后

把六条分支收进一张表里,大致是这样。越靠左越早需要,右边这一列是这篇文章最重要的部分。

如果只选一本教材,推荐凯文·林奇(Kevin Lynch)和弗兰克·帕克(Frank Park)的《Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control》。预印本 PDF、视频讲座,以及 Python、MATLAB、Mathematica 的实现全部公开,不管在上面这张表的哪一行卡住,都能直接翻到对应的章节。不过这本书是以旋量理论为主线来组织内容的,所以会先撞上表里「可以放到以后」的那些东西。第一遍读的时候,跳过那部分、只挑需要的章节看也完全没问题。

最常见的错误,是想把这张表从上到下学完才开始做机器人。反过来做要快得多。只带着前两行去让一条两连杆手臂动起来,亲眼看着它在奇异点附近发疯,再回头读第五行,当天就能理解。需求出现之后再学,和一边想象需求一边学,吸收的效率完全不是一回事。

也请再看一眼「可以放到以后」这一列。右边这一列里的每一项,无一例外都占据了本科课程相当大的篇幅:李群、LQR、KKT 条件、粒子滤波。这不代表它们不重要,而是意味着没有它们,也能做出一条能用的手臂。 而一个已经亲手做出过一条能用手臂的人,再去读那份清单,速度会快得多,因为到那时候,每一项解决的是什么问题,已经一目了然了。

结语 —— 同样的工具会反复出现

写这篇文章的过程中,我又确认了一件事。虽然分成了六条分支,但实际上反复出现的,不过是那几件工具。

雅可比矩阵最先出现在速度关系里,又在力关系里出现一次,在误差传播里再出现一次,在扩展卡尔曼滤波器的线性化里又出现一次。SVD 解释了奇异点,定义了可操作度,解释了阻尼最小二乘法为什么行得通,还告诉你协方差椭圆的轴在哪。最小二乘法既是逆运动学,也是轨迹规划,也是滤波。

学习策略也就随之确定了。与其广泛地泛泛涉猎,不如把常出现的工具吃透。 把雅可比矩阵放在四个不同的场景里理解透彻,比把这四个地方分开学,花的时间更少,记得也更牢。

而这篇文章清单里价值最高的部分,不在前面,而在后面——那些可以延后的内容。决定不学什么,比决定学什么更能推动进度。因为数学不够而没能开始做机器人的人,远远比不上那些想把一切都学完再开始、结果反而没能开始的人多。

浓缩成一句话就是——只带着矩阵乘法和 atan2 也能让手臂动起来。剩下的,等手臂开始表现得奇怪的时候再学就行。