공업수학 시리즈 2편: 1차 미분방정식의 개념

1차 미분방정식은 공업수학의 출발점입니다. 이름이 낯설어 보여도 사실은 "어떤 양의 변화 속도를 알고 있을 때 원래 양의 움직임을 복원하는 문제"라고 생각하면 훨씬 친숙해집니다.

문제의식

현실 시스템은 대부분 정적인 값보다 변화 과정이 더 중요합니다. 현재 온도, 현재 전압, 현재 속도보다도 "얼마나 빨리 변하는가"가 시스템의 성질을 결정하는 경우가 많습니다. 미분방정식은 바로 이 변화 규칙을 수식으로 적어 놓은 것입니다.

1차 미분방정식은 최고차 미분이 한 번만 등장하는 식을 뜻합니다. 일반적으로 다음처럼 씁니다.

$F(x, y, y') = 0$

또는 더 직접적으로

$\frac{dy}{dx} = f(x, y)$

여기서 $x$는 독립변수, $y$는 미지함수, $y'$는 그 변화율입니다.

해를 구한다는 것은 무엇인가

1차 미분방정식의 해를 구한다는 말은, 식을 만족하는 함수 $y(x)$를 찾는다는 뜻입니다.

예를 들어

$\frac{dy}{dx} = 2x$

를 만족하는 함수는

$y = x^2 + C$

입니다. 미분해 보면 정말로 $2x$가 되기 때문입니다. 즉 미분방정식의 해는 하나의 숫자가 아니라 보통 함수 전체입니다.

왜 적분상수가 생기는가

미분은 정보를 일부 지웁니다. $x^2$를 미분해도 $2x$이고, $x^2 + 5$를 미분해도 $2x$입니다. 따라서 미분방정식을 거꾸로 푸는 과정에서는 잃어버린 정보를 상수 $C$로 복원해야 합니다.

이 때문에 일반해는 보통

$y = \text{어떤 식} + C$

형태가 됩니다. 그리고 초기조건이나 경계조건이 주어지면 그때 $C$가 결정됩니다.

초기값 문제의 의미

현실 문제에서는 현재 상태가 같이 주어지는 경우가 많습니다. 예를 들어

$\frac{dy}{dx} = 2x, \quad y(0) = 3$

이면 일반해 $y = x^2 + C$에 $y(0) = 3$을 넣어 $C = 3$을 얻고,

$y = x^2 + 3$

라는 특수해를 얻습니다.

이처럼 미분방정식과 초기조건이 함께 주어지는 문제를 초기값 문제라고 합니다. 공학에서는 회로를 켰을 때 초기 전압이 얼마인지, 시스템 시작 시 위치와 속도가 얼마인지 같은 정보가 이 역할을 합니다.

기울기장으로 보는 직관

식

$\frac{dy}{dx} = f(x, y)$

은 좌표평면의 각 점에서 기울기를 알려줍니다. 이 정보를 화살표나 작은 선분으로 그리면 기울기장이 되고, 해는 그 기울기장을 따라가는 곡선이 됩니다.

예를 들어

$\frac{dy}{dx} = y$

에서는 $y$가 큰 곳일수록 기울기가 가파르고, $y=0$ 근처에서는 거의 평평합니다. 그래서 해는 지수함수 꼴이 됩니다.

이 직관은 나중에 해를 정확히 구하기 어려운 문제에서도 매우 중요합니다. 손으로 완전히 못 풀더라도, 해가 증가하는지 감소하는지, 어느 값으로 빨려 들어가는지 정도는 읽어낼 수 있어야 하기 때문입니다.

대표 예제

다음 문제를 보겠습니다.

$\frac{dy}{dt} = -0.5y, \quad y(0) = 10$

이 식은 현재 양의 절반 비율로 감소하는 현상을 나타냅니다. 일반해는

$y(t) = Ce^{-0.5t}$

이고 초기조건을 대입하면

$10 = Ce^0 = C$

이므로

$y(t) = 10e^{-0.5t}$

입니다.

이 해는 시간이 지날수록 값이 0에 가까워지는 감쇠 현상을 보여줍니다.

공학 응용

냉각 문제

어떤 물체의 온도가 주변 온도에 가까워지는 과정은 종종

$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$

처럼 모델링합니다. 현재 온도와 주변 온도의 차이가 클수록 더 빨리 식는다는 뜻입니다.

간단한 RC 회로

축전기의 전압 변화도 1차 미분방정식으로 시작합니다. 회로 해석에서 2차, 3차 시스템으로 가기 전에 가장 먼저 보는 전형적인 예시입니다.

서비스 트래픽 감쇠 모델

개발자 관점에서는 캐시 TTL 이후 감소하는 트래픽, 점차 안정화되는 큐 길이, 간단한 피드백 시스템도 비슷한 구조로 바라볼 수 있습니다.

자주 하는 실수

식과 해를 구분하지 못한다

미분방정식은 함수가 만족해야 할 규칙이고, 해는 그 규칙을 만족하는 함수입니다. 둘은 같은 것이 아닙니다.

초기조건을 너무 늦게 넣는다

일반해를 구한 뒤 특수해를 얻기 위해 초기조건을 넣는다는 흐름을 잊으면 계산이 자주 꼬입니다.

변화율과 함수값을 혼동한다

$y$와 $y'$는 완전히 다른 정보입니다. 값이 크다고 변화율이 꼭 큰 것은 아니고, 반대로 값이 작아도 변화율은 클 수 있습니다.

한 줄 요약

1차 미분방정식은 "변화율의 규칙"으로부터 "함수의 시간에 따른 움직임"을 복원하는 문제입니다.

다음 편 예고

다음 글에서는 1차 미분방정식을 실제로 푸는 대표 방법인 변수분리법, 적분인자법, 완전미분방정식을 차례대로 정리하겠습니다.

참고자료

• Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10th Edition
• Dennis G. Zill, A First Course in Differential Equations
• Paul Dawkins, Differential Equations Notes