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プロローグ — 「数学を計算機で解く」の意味が変わった

20 世紀後半の数学ソフトウェアは単純だった。一つの道具 — Mathematica・MATLAB・Maple のいずれか — が全てをこなすことになっていた。学生はライセンス一つに千ドルを払い、大学は十万ドルを払った。コードはその道具の言語の中だけで生きていた。

2026 年の風景は違う。

- **オープンソースが本当に追いついた。** SageMath は 2005 年に始まって 20 年が経ち、総合 CAS の地位を得た。Julia は 1.11 で安定 ABI を確定させた。R + tidyverse は統計の標準、Python の NumPy/SciPy/SymPy/Pandas/Polars 構成は科学計算のデファクト標準になった。

- **商用も生きている。** Mathematica は LLM 統合と自然言語関数を、MATLAB は Simulink と産業認証を、Maple は精緻な教科書統合を保持している。ただし「学生が最初に出会う道具」の座は失った。

- **クラウドが入ってきた。** CoCalc・Wolfram Cloud・Google Colab・Posit Cloud・Hex・Deepnote がノートブックをブラウザに移した。SaaS モデルがライセンスモデルを急速に追い越している。

- **AI が割り込んだ。** Wolfram は Mathematica に LLMFunction を入れ、MathWorks は MATLAB Copilot を出し、Posit は Positron に AI アシスタントを入れた。SymPy と SageMath は Jupyter AI 経由で自然言語入力を受け付ける。

この記事は地図全体を見る。商用 4 巨人 (Mathematica/MATLAB/Maple/Magma)、オープン総合 (SageMath/Julia/R/Python)、教育ツール (GeoGebra/Desmos)、特化代数 (GAP/Macaulay2/Singular)、クラウド (CoCalc/Wolfram Cloud)、そして CAS 陣営 (SymPy/Symbolics.jl/Maxima/Reduce/Pari-GP) を扱う。最後に学生・研究者・技術者・教育者ごとに、何を選ぶべきかを推奨する。

1. 2026 年の数学・科学計算地図 — 4 分類

道具が多すぎる。一度整理しよう。

┌────────────────────────────────────────────────────────────────┐

│ 2026 数学/科学計算の 4 分類 │

│ │

│ ┌─────────────────┐ ┌─────────────────────┐ │

│ │ 商用総合 │ │ オープンソース総合 │ │

│ │ │ │ │ │

│ │ - Mathematica │ │ - SageMath │ │

│ │ - MATLAB/Simulink│ │ - Julia 1.11 │ │

│ │ - Maple │ │ - R + tidyverse │ │

│ │ - Magma │ │ - Python sci-stack │ │

│ └─────────────────┘ └─────────────────────┘ │

│ │

│ ┌─────────────────┐ ┌─────────────────────┐ │

│ │ 教育 │ │ 特化 / CAS │ │

│ │ │ │ │ │

│ │ - GeoGebra │ │ - GAP (群論) │ │

│ │ - Desmos │ │ - Macaulay2 (AG) │ │

│ │ - Wolfram Alpha │ │ - Singular │ │

│ │ - Khan / Mathway│ │ - PARI/GP (数論) │ │

│ │ │ │ - Maxima / Reduce │ │

│ │ │ │ - SymPy / Symbolics │ │

│ └─────────────────┘ └─────────────────────┘ │

└────────────────────────────────────────────────────────────────┘

各分類の思考モデルは違う。

| 分類 | 思考モデル | 利用者 | ライセンス |

| --- | --- | --- | --- |

実際の研究室は通常 **2〜3 の道具を組み合わせる**。MATLAB でシミュレーション、Mathematica で象徴解法、Python でデータ処理。あるいは Julia で PDE を解き、R で統計検証し、SageMath で代数を確認する。一つの道具が全部を高い水準でこなす時代は終わった。

2. Wolfram Mathematica — プレミアム象徴計算の標準

**Mathematica** は 1988 年に Stephen Wolfram が発表して以来、象徴計算の標準である。2026 年版は 14.x 系。Wolfram Language (WL) という独自言語を持ち、全てを式 (expression) として扱うパターンマッチ型関数型言語である。

中核の強み

- **象徴計算の深さ。** Integrate, Solve, DSolve, Series, Reduce — ほぼ全ての閉形解法が一行で済む。

- **Wolfram Alpha との統合。** 自然言語入力 `=昨日のソウルの気温` を式として評価できる。

- **膨大な内蔵データ。** ChemicalData、CountryData、FinancialData、GenomeData — 学術データセット数百個が関数として露出している。

- **ノートブック UI。** 式・グラフ・テキスト・対話ウィジェット (Manipulate) が同じセルに同居する。インタラクティブなデモが強い。

- **LLM 統合。** 13.3 から LLMFunction、ChatEvaluator が正式に入った。Mathematica 内から GPT-4、Claude を呼び、結果を式として受け取る。

コード断片

(* 微分方程式を解く *)

DSolve[{y'[x] + y[x] == Sin[x], y[0] == 1}, y[x], x]

(* インタラクティブウィジェット *)

Manipulate[

Plot[Sin[a x + b], {x, 0, 2 Pi}],

{a, 1, 5}, {b, 0, 2 Pi}

]

(* LLM 呼び出しも一行 *)

LLMFunction["この定理を英語で証明して: {1}"][myTheorem]

弱点と批判

- **価格。** 学生ライセンス約 $169/年、個人 $440/年、企業は数千ドル単位。大学のサイトライセンスは非公開だが数十万〜数十万ドル規模。

- **ベンダーロックイン。** WL コードは外に移植できない。オープンソースのバックエンドが存在しない。

- **速度。** 数値計算は MATLAB や NumPy より一般に遅い (象徴は圧倒的)。

- **現代 ML の不在。** PyTorch/JAX に相当する標準的な ML 道具がない。NetTrain は独自世界。

2026 年の位置

- 一番合う場面: **象徴解法、ノートブックデモ、データ可視化、ライセンス校の数学講義**。

- 一番合わない場面: **深層学習、大規模データ処理、オープンソース協業**。

- 一言: 「象徴計算が核心で、学校がライセンスを買ってくれるなら今でも一番」。

3. MATLAB + Simulink (MathWorks) — 工学産業標準

**MATLAB** (MATrix LABoratory) は 1984 年発売以来、電気・機械・自動車・航空分野で事実上の標準。2026 年版は R2026a。Simulink はブロック図ベースのシミュレーションツールで、MATLAB と対になる。

産業が離れられない理由

- **認証。** DO-178C (航空)、ISO 26262 (自動車)、IEC 61508 (産業) で認証済みのモデルベース設計ツールチェーンを持つ。Simulink Coder がモデルから C コードを生成し、そのコードが認証を通る。

- **ツールボックス。** Control System、Signal Processing、Aerospace、Powertrain Blockset — 産業ドメイン 100 以上に検証済みアルゴリズムが組み込まれている。

- **HDL / Embedded Coder。** モデルから C/C++/Verilog/HDL/PLC を自動生成。組込みと FPGA ワークフローの標準。

- **数値の安定性。** LAPACK の上に数十年のチューニング。行列演算の信頼性は圧倒的。

コード断片

% 状態空間シミュレーション

A = [-0.5 1; 0 -1];

B = [0; 1];

C = [1 0];

sys = ss(A, B, C, 0);

t = 0:0.01:10;

u = ones(size(t));

[y, t] = lsim(sys, u, t);

plot(t, y)

% 信号処理 — FFT

Fs = 1000;

t = 0:1/Fs:1-1/Fs;

x = sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t) + randn(size(t));

Y = fft(x);

P2 = abs(Y/length(x));

plot(Fs*(0:(length(x)/2))/length(x), P2(1:length(x)/2+1))

2026 年の変化

- **MATLAB Online** + **MATLAB Mobile** — ライセンスがあればブラウザ/スマホで動かせる。

- **AI Chat in MATLAB** — IDE 内にアシスタント。コード説明、デバッグ、関数推薦。

- **Python 統合の強化** — py.* 名前空間で MATLAB から NumPy/PyTorch を呼ぶ。逆も matlab.engine で可能。

- **Apple Silicon ネイティブ** — 2024 年 R2024a から ARM64 macOS ネイティブ。性能が大幅向上。

弱点

- **価格。** 学生 $99、個人 $149、企業 $940/年 (コア)。ツールボックスは別料金。研究室一つでツールボックス 20 個使えば数万ドルになる。

- **言語の限界。** オブジェクト指向はぎこちなく、パッケージマネージャ (MATLAB File Exchange) は npm や PyPI に及ばない。

- **GIL に類する制約。** parfor は強力だが、分散は PCT (Parallel Computing Toolbox) 追加課金。

- **オープンソース陣営の不在。** GitHub Actions では回せない (ライセンス)。協業に摩擦。

位置

- 一番合う場面: **工学教育 (EE/ME/AE)、自動車・航空・防衛 R&D、信号処理、制御**。

- 一番合わない場面: **データサイエンス・統計 (R)、機械学習 (Python)、学部 1 年の数学 (GeoGebra)**。

- 一言: 「産業は離れられない。学界は少しずつ離れていく」。

4. Maple (Maplesoft) — Mathematica の永遠のライバル

**Maple** は 1980 年にウォータールー大学で始まった CAS。2025 年末に Maple 2025 が出ている。Mathematica としばしば比較されるが、思考モデルが違う。

Mathematica との違い

| 項目 | Mathematica | Maple |

| --- | --- | --- |

| 言語パラダイム | 関数型 + パターンマッチ | 命令型 + 手続き型 |

| ノートブック | ノートブック優先 | Worksheet (保守的) + Math Mode |

| 強み | 象徴 + データ + 可視化 | 微分方程式 + 数論 + 教科書統合 |

| 価格 | 高い | 高い (少し安め) |

| 学校採用 | 米国・理工系で優勢 | カナダ + 欧州 + 一部の韓国 |

Maple の本当の強み

- **MapleSim** — Simulink 対抗。物理ベースのモデリングが強い。

- **Maple Calculator + Maple Learn** — 教科書と紐付いたワークフロー。学生は段階的解法を見られる。

- **MapleFlow** — エンジニアリング計算書ツール。MathCAD 後継として地位を確立しつつある。

- **Grid Computing Toolbox** — ノード分散が比較的単純。

コード断片

ODE の解

ode := diff(y(x), x, x) + y(x) = sin(x);

sol := dsolve({ode, y(0) = 1, D(y)(0) = 0}, y(x));

数論

isprime(2^127 - 1); # メルセンヌ素数

ifactor(2^256 - 1);

段階的解法

Student[Calculus1]:-ShowSolution(int(x^2 * exp(x), x));

位置

- 一番合う場面: **工学の授業 (特に ODE/PDE)、学部数学の教室、MapleSim を使う自動車シミュレーション**。

- 一番合わない場面: **象徴解法の絶対的な深さ (Mathematica が上)、機械学習、データ分析**。

- 一言: 「Mathematica を買える学校なら二択になりうる。教科書統合が核心なら Maple」。

5. SageMath — オープンソース総合 CAS

**SageMath** は 2005 年に William Stein が始めたオープンソース数学システム。目標は明確だった — 「Mathematica/Maple/Magma のオープン代替」。2026 年は 9.x 後半。

構造 — 合成システム

Sage は初めから **他の道具のインタフェース** として設計された。Python をインタフェース言語にし、内部で GAP、PARI、Singular、Maxima、FLINT、GMP、NumPy、SciPy、NetworkX など 100 を超えるパッケージを呼ぶ。

┌──────────────────────────────────────────────────┐

│ SageMath = 「組立品」 │

│ │

│ ユーザーインタフェース (Python + Sage 拡張) │

│ │ │

│ ┌───────────▼───────────────────────────────┐ │

│ │ 象徴: Maxima, SymPy, Pynac │ │

│ │ 数値: NumPy, SciPy, R │ │

│ │ 数論: PARI, FLINT, ECL │ │

│ │ 群論: GAP │ │

│ │ 代数幾何: Singular, Macaulay2 (選択) │ │

│ │ グラフ: NetworkX │ │

│ │ LP/MIP: GLPK, PPL, Coin-OR │ │

│ └───────────────────────────────────────────┘ │

└──────────────────────────────────────────────────┘

コード断片

Sage は Python のスーパーセット

数論

E = EllipticCurve([0, 0, 1, -1, 0])

print(E.rank()) # 0

print(E.j_invariant())

微分方程式

x = var('x')

y = function('y')(x)

de = diff(y, x, 2) + y == sin(x)

desolve(de, y, ics=[0, 1, 0])

多項式環

R.<x, y> = QQ[]

I = R.ideal(x^2 + y^2 - 1, x - y)

print(I.groebner_basis())

2026 年の状況

- **開発速度** — コア開発者は減った。William Stein は CoCalc へ、一部は産業界へ。それでもパッチの流れは維持されている。

- **Jupyter 統合** — Sage ノートブックは Jupyter ベースが標準。

- **CoCalc がバックエンド** — CoCalc が事実上 Sage のクラウドホスト。

- **AI 統合** — 自然言語から Sage コードへの変換が jupyter-ai で入った。精度はまだ保証されない。

位置

- 一番合う場面: **数学博士課程、数論・代数幾何研究、学部数学 (特に高価なライセンスの代替)、無料教育**。

- 一番合わない場面: **認証付き工学ワークフロー (MATLAB)、Mathematica の自然言語入力、閉形積分の精度**。

- 一言: 「オープンソース CAS の終着点。学生が Mathematica を買えなければ SageMath」。

6. Julia 1.11 — 科学計算ファースト設計

**Julia** は 2012 年に MIT が発表した言語。スローガンは明快 — "Walks like Python, runs like C"。2024 年の 1.10 LTS、2025 年の安定版 1.11 を経て、2026 年は 1.12 へ向かっている。

Julia が解く問題 — 二言語問題

Python の科学計算には本質的欠陥がある — ホットループは結局 C/Fortran に降りる。NumPy が速いのは NumPy が C だからだ。Julia は **一つの言語で両方** をこなす — JIT コンパイル + 多重ディスパッチ + 強力な型システム。

コード断片

using DifferentialEquations, Plots

function lorenz!(du, u, p, t)

σ, ρ, β = p

du[1] = σ * (u[2] - u[1])

du[2] = u[1] * (ρ - u[3]) - u[2]

du[3] = u[1] * u[2] - β * u[3]

end

u0 = [1.0, 0.0, 0.0]

tspan = (0.0, 100.0)

p = (10.0, 28.0, 8/3)

prob = ODEProblem(lorenz!, u0, tspan, p)

sol = solve(prob, Tsit5(), reltol=1e-8, abstol=1e-8)

plot(sol, idxs=(1, 2, 3))

このコードは Python+NumPy で書いた同等版より通常 **5〜50 倍速い**。さらに SciML エコシステムは PDE、SDE、DAE、neural ODE まで統一インタフェースで扱う。

2026 年の Julia エコシステム

- **SciML** — DifferentialEquations.jl、ModelingToolkit.jl、Symbolics.jl — 科学機械学習の標準スタック。

- **Flux.jl / Lux.jl** — Julia ネイティブの ML。

- **Pluto.jl** — リアクティブノートブック。Jupyter とは違う思考モデル (セルが依存グラフを持つ)。

- **Julia for HPC** — DOE のスーパーコンピューターでの採用が増加。CliMA (気候モデリング)、Celeste (天体分類) など。

- **Symbolics.jl** — Julia ネイティブ CAS。SymPy より速いという評価が多い。

弱点

- **コンパイル遅延。** "Time to first plot" 問題。1.9+ で PCG により大きく改善されたが、まだ気になる。

- **エコシステムのサイズ。** Python に比べて小さい。ライブラリ探索が難しい。

- **企業の採用市場。** Python/R/MATLAB に比べ Julia の求人が少ない。学界 vs 産業の非対称。

- **バージョン安定性の認知。** 1.x でもパッケージ互換性が崩れることがある。

位置

- 一番合う場面: **科学機械学習、微分方程式解法、HPC、量子・プラズマ・気候シミュレーション、金融モデリング**。

- 一番合わない場面: **ウェブサービス、短いスクリプト、企業のデータ分析チーム (Python が標準)**。

- 一言: 「数値 + 象徴 + 微分方程式を一つの言語で解きたいなら Julia 1.11 が答え」。

7. R + tidyverse + Posit (旧 RStudio) — 統計の標準

**R** は 1993 年に登場した統計専用言語。2026 年は 4.x。R 自体より重要なのは **tidyverse** エコシステムと、それを率いる会社 **Posit** (2022 年に RStudio から改名)。

なぜ R は死ななかったか

10 年間「Python が R を置き換える」と言われ続けた。2026 年、R はまだ生きている。理由:

- **統計学者が作った言語。** lm、glm、summary、anova が一級関数。Python では statsmodels で似たことができるが、出力品質が違う。

- **tidyverse。** dplyr、tidyr、ggplot2、purrr、readr — Hadley Wickham が設計した一貫したインタフェース。データ分析の思考モデルがそのままコードになる。

- **CRAN。** パッケージの品質管理が PyPI より厳しい。学界が発表した統計手法はほぼ全て CRAN にある。

- **Quarto** — R Markdown の後継。Posit が 2022 年に発表。Python、R、Julia、Observable をサポートする多言語ドキュメント。

コード断片

library(tidyverse)

library(lme4)

tidyverse データパイプライン

mtcars |>

as_tibble(rownames = "model") |>

group_by(cyl) |>

summarise(

mean_mpg = mean(mpg),

n = n(),

.groups = "drop"

) |>

ggplot(aes(x = factor(cyl), y = mean_mpg)) +

geom_col(fill = "steelblue") +

labs(x = "Cylinders", y = "Mean MPG")

混合効果モデル

model <- lmer(mpg ~ wt + (1 | cyl), data = mtcars)

summary(model)

Posit (旧 RStudio)

2022 年に RStudio が **Posit** へ改名した理由 — 「我々は R の会社ではない、データサイエンスの会社だ」。以後:

- **Positron** — RStudio の後継 IDE。VS Code ベース、Python + R + Julia を対等に扱う。2024 年ベータ、2025 年安定版。RStudio は維持されるが新規開発は Positron へ。

- **Quarto** — 多言語ドキュメントシステム。

- **Posit Cloud** — ブラウザの R/Python 環境。

- **Shiny** — R/Python 両対応のウェブアプリフレームワーク。

弱点

- **速度。** R コアは速くない。data.table、Rcpp、arrow が補う。

- **機械学習エコシステム。** Python (PyTorch/scikit-learn) に届かない。tidymodels が追っている。

- **エディタ依存。** RStudio/Positron の外では R 体験が落ちる。

- **言語の一貫性。** S3/S4/R5/R6 のオブジェクトシステムが 4 種類 — 学習曲線が一定でない。

位置

- 一番合う場面: **統計、疫学、臨床、社会科学、データジャーナリズム**。

- 一番合わない場面: **深層学習、大規模 ETL、汎用バックエンド、リアルタイムシステム**。

- 一言: 「データ分析が統計学に近ければ R + tidyverse。計算機科学に近ければ Python」。

8. Python 科学スタック — NumPy / SciPy / SymPy / Pandas / Polars

Python は 2026 年もデータ・科学・ML の事実上の標準言語。一つの道具ではなく **スタック** である。

スタック構造

┌──────────────────────────────────────────────────────┐

│ Python 科学スタック (2026) │

│ │

│ アプリ ┌────────────────────────────┐ │

│ │ Jupyter, Streamlit, Dash │ │

│ └────────────────────────────┘ │

│ 統計 / ML ┌────────────────────────────┐ │

│ │ statsmodels, scikit-learn, │ │

│ │ PyTorch, JAX │ │

│ └────────────────────────────┘ │

│ データフレーム ┌────────────────────────────┐ │

│ │ Pandas 2.x, Polars, DuckDB │ │

│ └────────────────────────────┘ │

│ 象徴 / CAS ┌────────────────────────────┐ │

│ │ SymPy │ │

│ └────────────────────────────┘ │

│ 数値 / 科学 ┌────────────────────────────┐ │

│ │ NumPy 2.x, SciPy 1.14+, │ │

│ │ Matplotlib │ │

│ └────────────────────────────┘ │

│ 低レベル / 加速 ┌────────────────────────────┐ │

│ │ Numba, Cython, mypyc │ │

│ └────────────────────────────┘ │

└──────────────────────────────────────────────────────┘

2026 年の注目点

- **NumPy 2.x** — 2024 年 6 月に NumPy 2.0 リリース。ABI break があり 1 年でエコシステムが追随。dtype システムがより一貫した。

- **Pandas 2.x + PyArrow バックエンド** — Arrow バックエンドがオプションからデフォルトへ移行中。

- **Polars** — Rust 製のデータフレームライブラリ。大規模データで Pandas より速い。強力な Lazy API。

- **SymPy 1.13+** — 象徴計算。Mathematica より遅いが無料で Python ネイティブ。

- **DuckDB + Ibis** — ノートブック内で OLAP クエリ。CSV/Parquet を SQL で直接処理。

コード断片

数値

A = np.random.randn(1000, 1000)

e = np.linalg.eigvals(A)

Polars — Pandas より速いデータフレーム

df = (

pl.scan_csv("sales.csv")

.filter(pl.col("amount") > 100)

.group_by("region")

.agg(pl.col("amount").sum().alias("total"))

.collect()

)

SymPy 象徴解法

x = sp.Symbol("x")

integral = sp.integrate(sp.sin(x) * sp.exp(-x), x)

print(sp.latex(integral))

Python スタックの弱点

- **速度。** ホットループは NumPy/Numba/Cython へ降ろさねばならない。二言語問題。

- **依存地獄。** conda/pip/uv/poetry/pixi の 5 つが並存。2026 年は uv が標準に急速に近づいている。

- **象徴の深さ。** SymPy は Mathematica/Maple の精度・速度に届かない。

位置

- 一番合う場面: **ほぼ全てのデータ・科学・ML ワークフロー、学部 1 年から博士まで汎用**。

- 一番合わない場面: **認証付き工学 (MATLAB が標準)、高度な象徴解法 (Mathematica)、Julia 優位な PDE**。

- 一言: 「迷ったら Python から始めるのが安全な選択」。

9. GeoGebra + Desmos — 教育現場の二大巨人

数学教育で最もよく使われる道具は Mathematica でも MATLAB でもない。**GeoGebra** と **Desmos** である。

GeoGebra

- **出自。** 2001 年、オーストリア・ザルツブルク大学の Markus Hohenwarter が博士課程プロジェクトとして開始。

- **位置付け。** 幾何 + 代数 + 微積分 + 統計の統合ダイナミック数学。

- **利用者。** 世界 1 億人。学校ライセンスはほぼ無料。

- **モジュール。** Graphing、Geometry、3D Calculator、CAS、Classic、Notes、Suite — 2024 年に Suite として統合。

GeoGebra Suite (2026)

├── Graphing Calculator (Desmos 級の関数グラフ)

├── Geometry (ユークリッド作図)

├── 3D Calculator (空間可視化)

├── CAS Calculator (象徴計算、Maxima ベース)

├── Notes (デジタルホワイトボード)

└── Classic 6 (全機能統合デスクトップ)

Desmos

- **出自。** 2011 年、Eli Luberoff が創業。2022 年に教科部分を Amplify が買収、グラフ計算機は別個の非営利。

- **位置付け。** 「最高の関数グラフ計算機」+ K-12 教科書統合。

- **利用者。** 米国 K-12 の事実上の標準。SAT/ACT 認定。

- **2024 年に Geometry Tool 発表** — GeoGebra Geometry と競合。

比較

| 項目 | GeoGebra | Desmos |

| --- | --- | --- |

| 強み | 幾何 + CAS + 3D | 関数グラフ UX、教科活動 |

| 弱み | UI が重い | CAS が弱い、3D が弱い |

| 価格 | 無料 (財団) | 無料 (非営利) |

| 韓国 | 広く採用、EBS との協業 | 一部学校、英語の壁 |

| 日本 | 普及は中程度 | 普及は弱い |

| モバイル | 公式 iOS/Android | 公式 iOS/Android |

位置

- GeoGebra は **幾何 + 可視化 + CAS** が必要な学校・大学 1〜2 年に適合。

- Desmos は **関数グラフ + 活動ベース学習** が中心の K-12 に適合。

- 学年が上がって微積分、線形代数、微分方程式に進むと **SageMath か Mathematica に卒業** する。

10. GAP / Macaulay2 / Magma / Singular — 特化代数

博士課程以上に上がると、総合道具が解けない狭い分野が現れる。そこに位置を確立した **特化 CAS** を 4 つ見る。

GAP — 計算群論

**GAP** (Groups, Algorithms, Programming) は 1986 年に RWTH Aachen で始まった群論システム。2026 年は 4.13+。有限群、表現論、部分群束、群コホモロジーが中核。

gap> G := SymmetricGroup(5);

Sym( [ 1 .. 5 ] )

gap> Order(G);

120

gap> ConjugacyClasses(G);

[ ()^G, (1,2)^G, (1,2)(3,4)^G, (1,2,3)^G, ...]

gap> IsSimple(G);

false

Macaulay2 — 計算代数幾何

**Macaulay2** は 1992 年に Daniel Grayson と Michael Stillman が始めた可換環 + 代数幾何システム。環、イデアル、グレブナー基底、自由分解、ホモロジー代数が中核。

i1 : R = QQ[x, y, z]

o1 = R

i2 : I = ideal(x^2 - y, y^2 - z, x*y - z)

o2 = ideal (x^2 - y, y^2 - z, x*y - z)

i3 : gens gb I

o3 = | yz-x z2-y2 xz-y2 y2-z xy-z x2-y |

Magma — 商用可換代数

**Magma** はシドニー大学の Computational Algebra Group が開発する **有料** システム (1993 年〜)。数論、代数幾何、符号理論、表現論で最強との評。GAP/M2 と一緒に使われることも多い。価格はライセンス交渉 — 学生ライセンスが別途存在する。SageMath が Magma の一部機能を呼び出すオプションはあるがライセンスが必要。

Singular — 多項式代数

**Singular** は 1984 年にカイザースラウテルン大学で始まった多項式計算システム。グレブナー基底、自由分解、特異点解析が中核。SageMath の多項式環バックエンドとしても使われる。

4 つの比較

| システム | 出自 | 強み | ライセンス |

| --- | --- | --- | --- |

| GAP | RWTH Aachen | 有限群、表現論 | GPL |

位置

- 学部ではほぼ使われない。博士課程の分野によっては必須。

- SageMath が GAP、Singular を内蔵 — Sage 内から自然に呼べる。

- Macaulay2 は Sage から別途呼ぶ (`macaulay2.eval()`)。

- Magma はライセンスがハードルなので学校のサイトライセンス次第。

11. CoCalc — クラウド SageMath + Jupyter

**CoCalc** は William Stein が 2013 年に始めたクラウド協業ノートブックプラットフォーム。SageMath の事実上のクラウドホスト。

何を提供するか

- **SageMath、Jupyter、R、Julia、Octave ノートブック** をブラウザで。

- **フル Linux ターミナル** — LaTeX コンパイル、gnuplot、git まで。

- **リアルタイム協業** — Google Docs 風の同時編集。

- **課題 / 採点システム** — 教師が学生のノートブックを受け取り自動採点。

- **タイムトラベル** — 全編集履歴をスライダーで再生。

価格 (2026)

- 無料 — インターネット接続なし、1GB メモリ、1 CPU。

- 学生 — 月 $5 程度 (インターネット + より多いリソース)。

- 教師 / 研究室 — 月 $14 から (サイトライセンス別途)。

CoCalc の核心価値

授業で **全員が同じ環境** を持つ。SageMath/Jupyter をインストールできない学生、M1 Mac で動かないパッケージ、Windows で壊れる LaTeX — これら全ての問題が消える。学部講義で大きな価値。

位置

- 学部数学・統計講義の標準インフラ。

- 博士研究には限界 — 大容量メモリ、GPU などは別途。

- セルフホスト可能なオープンソース版 (KuCalc) も存在。

12. Wolfram Cloud + Wolfram Alpha API

**Wolfram Cloud** は Mathematica のクラウド版。**Wolfram Alpha API** は自然言語の数学解法を外部アプリから呼ぶ API。

Wolfram Cloud

- ブラウザで Wolfram Language ノートブック。

- **Cloud Notebook + Deployable APIs** — ノートブックをそのまま Web API としてデプロイ可能。

- **Free Tier** あり。ただし計算量制限。

- 価格 — 個人月 $5〜、ビジネスは別途。

Wolfram Alpha API

client = wolframalpha.Client(app_id="XXXX")

res = client.query("integral of sin(x)^2 from 0 to pi")

print(next(res.results).text)

-> "pi/2"

- 自然言語入力 → Wolfram 式の評価結果。

- チャットボット、教育アプリ、グラフ計算機によく組み込まれる。

- 無料 — 月 2,000 コール。それ以上は有料。

活用シナリオ

- チャットボットが数学質問を Alpha API に投げる。

- 学習アプリが段階的解法を見せるのに使う。

- Mathematica ライセンスを持たない人が一回限りの問題を解く。

13. JAX (Google) — 科学 + ML 融合

**JAX** は Google が 2018 年に発表したライブラリ。「NumPy + autograd + XLA」の組み合わせ。2026 年は科学計算と ML の交差点で最も熱い道具。

思考モデル

- API はほぼ NumPy — 学習曲線が低い。

- 全関数が **自動微分** される — `jax.grad`。

- 全関数が **JIT コンパイル** される — `jax.jit` で XLA (CPU/GPU/TPU) にコンパイル。

- 関数型 + 純粋関数強制 — 副作用のあるコードは拒否される。

def rosenbrock(x):

return jnp.sum(100.0 * (x[1:] - x[:-1]**2)**2 + (1 - x[:-1])**2)

勾配

grad_rb = jax.grad(rosenbrock)

JIT コンパイル

jit_rb = jax.jit(rosenbrock)

ベクトル化 — バッチ処理

batched = jax.vmap(rosenbrock)

xs = jnp.array([[1.0, 1.0], [2.0, 2.0]])

print(batched(xs))

JAX vs PyTorch

| 項目 | JAX | PyTorch |

| --- | --- | --- |

| 思考モデル | 関数型、純粋関数 | OO、命令型 |

| 自動微分 | grad/jacrev/jacfwd | autograd.backward |

| JIT | XLA、静的 | TorchScript/torch.compile |

| 分散 | pjit / shard_map | DDP / FSDP |

| エコシステム | JAX 系 (Flax, Optax, Equinox) | PyTorch 圧倒的 |

科学計算における JAX

- **物理シミュレーション** — DeepMind の分子動力学、NASA の流体コード。

- **ベイズ推論** — NumPyro、BlackJAX。

- **Neural ODE / PDE** — Diffrax、JAX-CFD。

- **量子シミュレーション** — JaxQuTip など。

弱点

- **関数型思考強制** — 学習曲線あり。`for` ループを自由に使えない (`jax.lax.scan` などを使う)。

- **エコシステム分裂** — Flax、Haiku、Equinox など複数の神経網ライブラリ。標準がない。

- **JIT デバッグ** — コンパイル済みコードのエラーメッセージは荒い。

位置

- **科学 + ML の交差点** で標準になりつつある。

- 純粋 ML なら PyTorch がまだ大きな標準。

- 純粋数値なら NumPy/Julia で十分。JAX は微分 + 加速が両方必要なときに光る。

14. CAS 陣営 — Symbolics.jl / Reduce / Maxima / Pari-GP / SymPy

商用を除けばオープン CAS 陣営は豊か。

SymPy

- Python ネイティブ。

- 学生・エンジニアが最初に出会う CAS — Mathematica を買う前の試用。

- 弱点 — 速度。大きな式で答えが返ってこない。

x = sp.Symbol("x")

sp.integrate(sp.sin(x) * sp.exp(-x), x)

Symbolics.jl

- Julia ネイティブ CAS。ModelingToolkit と結合され PDE/ODE システムビルダーとして地位を得た。

- 多重ディスパッチのおかげで大きな式で SymPy より速い。

using Symbolics

@variables x y

expr = x^2 + 2x*y + y^2

simplify(expr)

Maxima

- Macsyma の直系子孫。MIT で 1960 年代に始まり、現在は GPL。

- Lisp ベース、古い UX。SageMath の象徴バックエンドの一つ。

- 深い数論、積分 — 意外と強い。

Reduce

- 1968 年に Hearn が始める。2008 年にオープンソース化。

- 物理学系で歴史的に強かった — Feynman ダイアグラム計算など。

- 現代の道具としては珍しいが、まだ生きている。

PARI/GP

- 1985 年に Bordeaux で始まる。数論専門 CAS。

- 速い数論アルゴリズム — 素数判定、因数分解、楕円曲線。

- C ライブラリ (libpari) + 対話シェル (GP)。

- SageMath の数論バックエンド。

? factor(2^256 - 1)

? isprime(2^127 - 1)

? E = ellinit([0, 0, 1, -1, 0])

? ellanalyticrank(E)

5 つの比較

| CAS | 言語 | 強み | 利用者 |

| --- | --- | --- | --- |

| PARI/GP | C | 数論 | 数論博士課程 |

15. 韓国 — KAIST / ソウル大学 / Posit Korea

韓国の大学数学・工学風景。

KAIST (韓国科学技術院)

- **工学 — MATLAB** が学部から深く根を張っている。EE/ME/AE のサイトライセンスが運営される。

- **数学科 — Mathematica + SageMath** を併用。学部の微積分・線形代数では Mathematica、研究室では SageMath がよく見られる。

- **AI 大学院 — Python/JAX/PyTorch 中心**。R は一部の統計科目で。

- **個別講義事例** — KAIST 数学科の SageMath 実習科目、産業工学科の R 統計科目が知られる。

ソウル大学校 (SNU)

- **数理科学部 — Mathematica ライセンス** + 一部 SageMath。

- **工学部 — MATLAB** + Python。

- **統計学科 — R + tidyverse** が強い。

- **AI 研究室 — Python + PyTorch / JAX**。

POSTECH

- 規模は小さいが MATLAB / Mathematica のサイトライセンスを保持。

- 数学科は SageMath / GAP / Macaulay2 などオープン CAS の利用度が高い。

産業 — 韓国

- **自動車 (現代・起亜) — MATLAB / Simulink** が深く根を張っている。認証ワークフローのため。

- **半導体 (Samsung・SK ハイニックス) — MATLAB + Python**。信号処理・計測に MATLAB、データ分析に Python。

- **金融 — R + Python**。分析は R、モデルデプロイは Python。

- **スタートアップ — Python ほぼ独占**。R はデータアナリストの一部で。

韓国語資料

- 韓国 SageMath グループ — 学会発表を中心に活動。

- **KAIST OCW** — 一部の数学講義に SageMath 実習資料。

- **EBS / 教育放送** — GeoGebra を使う数学講義。

16. 日本 — 京都大学 / 東京大学 / RIKEN / Mathematica ライセンス

日本の大学風景。

東京大学 (東大)

- **数理科学研究科** — Mathematica のサイトライセンス運営。学部生もアクセス可能。

- **工学部 — MATLAB** が学部全学年で根を張っている。

- **物理学科 — Mathematica + Python + Julia** 混合。

- **情報理工 / AI — Python + PyTorch / JAX** 中心。

京都大学 (京大)

- **理学部数学教室** — Mathematica + SageMath。一部の博士課程学生が SageMath / GAP / Macaulay2 を使用。

- **数理解析研究所 (RIMS)** — 純粋数学研究中心。道具は研究者の好みに応じて多様。

- **工学部 — MATLAB / Simulink** が自動車・電子産業との連携で深い。

RIKEN

- **R-CCS (計算科学研究センター)** — 富岳スーパーコンピュータを運営。Julia / Python / C++ / Fortran 混用。

- **AIP (革新知能統合研究センター)** — Python + PyTorch + JAX 中心。

大阪大学 / 名古屋大学

- 工学部が強い — MATLAB / Simulink が深い。

- 数学科は SageMath / Mathematica 混用。

産業 — 日本

- **自動車 (Toyota・Honda・Nissan) — MATLAB / Simulink** が標準。MathWorks Japan 法人が強力。

- **電子 (Sony・Panasonic・Renesas) — MATLAB + Python + C/C++**。

- **金融 — R + Python**。保守的な統計分析は R、新しいワークフローは Python。

- **AI スタートアップ (Preferred Networks、Sakana AI など) — Python + JAX / PyTorch**。

日本語資料

- **京大の数理リテラシー** — 京都大学の SageMath 資料が一部公開されている。

- **MathWorks Japan** — MATLAB の日本語資料が豊富。

- **Wolfram Japan** — Mathematica の日本語セミナーが定期開催。

17. 誰が何を選ぶべきか — 学生・研究・産業・教育

最後にシナリオ別の推奨。

学部 1〜2 年 (数学・科学・工学入門)

- **基本は Python + NumPy + SymPy + Matplotlib**。無料、一度覚えれば生涯使える。

- 可視化・幾何 — **GeoGebra** か **Desmos**。

- 学校が Mathematica/MATLAB のサイトライセンスを買ってくれるなら、それも一緒に身につけよう。

学部 3〜4 年 / 専攻決定後

- **数学 / 統計専攻** — R + tidyverse、SageMath、SymPy。

- **工学 (EE/ME/AE)** — MATLAB + Simulink (産業標準の現実)。

- **CS / AI** — Python + PyTorch / JAX。

博士課程 (純粋数学)

- **数論 / 代数幾何** — SageMath + GAP + Macaulay2 + Singular。Magma のライセンスがあれば追加。

- **解析 / PDE** — Julia (DifferentialEquations.jl) または MATLAB + PDE Toolbox。

- **応用数学** — Python + JAX + Julia 混用。

博士課程 (工学・物理)

- 産業隣接 — **MATLAB / Simulink** 必須。

- 学界隣接 — **Python + Julia + 分野固有のツール**。

- 量子 — **Qiskit / Cirq + JAX**。

企業 R&D

- **自動車・航空・防衛** — MATLAB / Simulink (認証要求)。

- **半導体・通信** — MATLAB + Python。

- **金融** — R + Python + Julia。

- **AI / スタートアップ** — Python + PyTorch / JAX ほぼ独占。

教育 (教師)

- **K-12** — Desmos か GeoGebra。学生がモバイルでも使える。

- **高校 — GeoGebra + Python (入門)**。

- **大学教室** — CoCalc か Posit Cloud — 環境の統一が重要。

参考 / References

- Wolfram Mathematica — https://www.wolfram.com/mathematica/

- Wolfram Language — https://www.wolfram.com/language/

- Wolfram Alpha — https://www.wolframalpha.com/

- Wolfram Cloud — https://www.wolframcloud.com/

- MATLAB — https://www.mathworks.com/products/matlab.html

- Simulink — https://www.mathworks.com/products/simulink.html

- Maple — https://www.maplesoft.com/products/maple/

- MapleSim — https://www.maplesoft.com/products/maplesim/

- SageMath — https://www.sagemath.org/

- Julia — https://julialang.org/

- SciML — https://sciml.ai/

- Symbolics.jl — https://docs.sciml.ai/Symbolics/stable/

- R Project — https://www.r-project.org/

- tidyverse — https://www.tidyverse.org/

- Posit — https://posit.co/

- Positron — https://positron.posit.co/

- Quarto — https://quarto.org/

- NumPy — https://numpy.org/

- SciPy — https://scipy.org/

- SymPy — https://www.sympy.org/

- Pandas — https://pandas.pydata.org/

- Polars — https://pola.rs/

- JAX — https://github.com/google/jax

- Flax — https://github.com/google/flax

- GeoGebra — https://www.geogebra.org/

- Desmos — https://www.desmos.com/

- GAP — https://www.gap-system.org/

- Macaulay2 — https://macaulay2.com/

- Magma — http://magma.maths.usyd.edu.au/magma/

- Singular — https://www.singular.uni-kl.de/

- Maxima — https://maxima.sourceforge.io/

- Reduce — https://reduce-algebra.sourceforge.io/

- PARI/GP — https://pari.math.u-bordeaux.fr/

- CoCalc — https://cocalc.com/

- William Stein on Sage — https://wstein.org/

- KAIST — https://www.kaist.ac.kr/

- ソウル大学校数理科学部 — https://www.math.snu.ac.kr/

- POSTECH — https://www.postech.ac.kr/

- 東京大学数理科学 — https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/

- 京都大学数理解析研究所 (RIMS) — https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/

- RIKEN R-CCS — https://www.r-ccs.riken.jp/

- MathWorks Japan — https://jp.mathworks.com/