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확률론 기초와 베이즈 정리

베이즈 정리

베이즈 정리는 확률적 머신러닝의 근간입니다. 사건 $A$와 증거 $B$가 주어졌을 때:

$$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$$

머신러닝 맥락에서는 파라미터 $\theta$와 데이터 $D$로 표현합니다:

$$P(\theta|D) = \frac{P(D|\theta) \cdot P(\theta)}{P(D)}$$

- $P(\theta)$: **사전 분포(Prior)** — 데이터 관측 전 파라미터에 대한 믿음

- $P(D|\theta)$: **우도(Likelihood)** — 파라미터 값이 주어졌을 때 데이터 생성 확률

- $P(\theta|D)$: **사후 분포(Posterior)** — 데이터를 관측한 후 업데이트된 믿음

- $P(D)$: **주변 우도(Marginal Likelihood)** — 정규화 상수

주요 확률 분포

**가우시안 분포(Gaussian Distribution)**

$$\mathcal{N}(x | \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$

연속형 데이터 모델링의 기본. 중심극한정리에 의해 실무에서 광범위하게 사용됩니다.

**베르누이 분포(Bernoulli Distribution)**

$$\text{Bern}(x | p) = p^x (1-p)^{1-x}, \quad x \in \{0, 1\}$$

이진 분류 문제의 기본 분포. 베이지안 이진 분류에서 우도 함수로 사용됩니다.

**디리클레 분포(Dirichlet Distribution)**

$$\text{Dir}(\mathbf{p} | \boldsymbol{\alpha}) = \frac{\Gamma(\sum_k \alpha_k)}{\prod_k \Gamma(\alpha_k)} \prod_k p_k^{\alpha_k - 1}$$

다항 분포의 켤레 사전 분포(Conjugate Prior). 토픽 모델링(LDA)에서 핵심적으로 사용됩니다.

주요 확률 분포 시각화

x = np.linspace(-4, 4, 200)

가우시안 분포

gaussian = stats.norm(loc=0, scale=1)

print(f"가우시안 평균: {gaussian.mean():.2f}, 분산: {gaussian.var():.2f}")

베르누이 분포

p = 0.7

bern_samples = stats.bernoulli(p).rvs(1000)

print(f"베르누이 성공률: {bern_samples.mean():.3f} (기대값: {p})")

디리클레 분포 샘플링

alpha = np.array([2.0, 3.0, 5.0])

dirichlet_samples = stats.dirichlet(alpha).rvs(1000)

print(f"디리클레 평균: {dirichlet_samples.mean(axis=0)}")

print(f"이론적 평균: {alpha / alpha.sum()}")

베이지안 추론: 사전/사후 분포

MAP vs MLE

**최대 우도 추정(MLE, Maximum Likelihood Estimation)**

$$\hat{\theta}_{MLE} = \arg\max_\theta P(D|\theta) = \arg\max_\theta \log P(D|\theta)$$

**최대 사후 추정(MAP, Maximum A Posteriori)**

$$\hat{\theta}_{MAP} = \arg\max_\theta P(\theta|D) = \arg\max_\theta \left[\log P(D|\theta) + \log P(\theta)\right]$$

MAP는 MLE에 사전 분포의 로그를 더한 것과 동일합니다. 가우시안 사전 분포 $P(\theta) = \mathcal{N}(0, \tau^2)$를 사용하면:

$$\log P(\theta) = -\frac{\theta^2}{2\tau^2} + \text{const}$$

이는 L2 정규화(Ridge Regression)와 수학적으로 동일합니다. 라플라스 사전 분포를 사용하면 L1 정규화(Lasso)에 해당합니다.

켤레 사전 분포(Conjugate Prior)

사후 분포가 사전 분포와 동일한 함수 형태를 가질 때 켤레 관계라고 합니다.

| 우도 | 켤레 사전 분포 | 사후 분포 |

| ------------- | -------------- | ----------- |

| 베르누이/이항 | 베타(Beta) | 베타(Beta) |

| 가우시안 | 가우시안 | 가우시안 |

| 포아송 | 감마(Gamma) | 감마(Gamma) |

| 다항 | 디리클레 | 디리클레 |

**베타-베르누이 켤레 예시:**

사전: $P(p) = \text{Beta}(\alpha, \beta)$, 우도: $P(D|p) = \text{Bern}(p)^N$

사후: $P(p|D) = \text{Beta}(\alpha + n_H, \beta + n_T)$

여기서 $n_H$는 앞면, $n_T$는 뒷면 횟수입니다.

PyMC로 베이지안 선형 회귀

np.random.seed(42)

X = np.random.randn(100)

true_alpha, true_beta, true_sigma = 1.5, 2.3, 0.5

y = true_alpha + true_beta * X + np.random.randn(100) * true_sigma

with pm.Model() as linear_model:

사전 분포 정의

alpha = pm.Normal('alpha', mu=0, sigma=10)

beta = pm.Normal('beta', mu=0, sigma=10)

sigma = pm.HalfNormal('sigma', sigma=1)

우도 함수

mu = alpha + beta * X

likelihood = pm.Normal('y', mu=mu, sigma=sigma, observed=y)

NUTS 샘플러로 사후 분포 추정

trace = pm.sample(2000, tune=1000, return_inferencedata=True, random_seed=42)

결과 요약

summary = az.summary(trace, var_names=['alpha', 'beta', 'sigma'])

print(summary)

alpha ~ 1.5, beta ~ 2.3, sigma ~ 0.5 근처로 수렴해야 함

MCMC: 마르코프 체인 몬테카를로

MCMC는 해석적으로 계산하기 어려운 사후 분포에서 샘플을 추출하는 방법입니다.

Metropolis-Hastings 알고리즘

1. 현재 상태 $\theta^{(t)}$에서 제안 분포 $q(\theta'|\theta^{(t)})$로 후보 $\theta'$ 생성

2. 수용 확률 계산:

$$\alpha = \min\!\left(1, \frac{P(\theta'|D) \cdot q(\theta^{(t)}|\theta')}{P(\theta^{(t)}|D) \cdot q(\theta'|\theta^{(t)})}\right)$$

3. 균일 분포 $u \sim U(0,1)$을 샘플링하여 $u < \alpha$이면 $\theta^{(t+1)} = \theta'$, 아니면 $\theta^{(t+1)} = \theta^{(t)}$

def metropolis_hastings(log_posterior, initial, n_samples=10000, proposal_std=0.5):

"""Metropolis-Hastings MCMC 구현"""

samples = np.zeros((n_samples, len(initial)))

current = np.array(initial, dtype=float)

accepted = 0

for i in range(n_samples):

제안 분포에서 후보 샘플링

proposal = current + np.random.randn(len(current)) * proposal_std

수용 확률 계산 (로그 공간에서)

log_ratio = log_posterior(proposal) - log_posterior(current)

accept_prob = min(1.0, np.exp(log_ratio))

수용/거부 결정

if np.random.rand() < accept_prob:

current = proposal

accepted += 1

samples[i] = current

print(f"수용률: {accepted / n_samples:.3f}")

return samples

가우시안 혼합 분포에서 샘플링

def log_posterior_mixture(theta):

log_p1 = -0.5 * ((theta[0] - 2)**2 + (theta[1] - 2)**2)

log_p2 = -0.5 * ((theta[0] + 2)**2 + (theta[1] + 2)**2)

return np.log(0.5 * np.exp(log_p1) + 0.5 * np.exp(log_p2) + 1e-10)

samples = metropolis_hastings(log_posterior_mixture, [0.0, 0.0], n_samples=50000)

Burn-in 제거 후 분석

burn_in = 5000

posterior_samples = samples[burn_in:]

print(f"사후 평균: {posterior_samples.mean(axis=0)}")

print(f"사후 표준편차: {posterior_samples.std(axis=0)}")

Gibbs Sampling

각 파라미터를 나머지 파라미터를 조건으로 하여 순차적으로 샘플링합니다:

$$\theta_i^{(t+1)} \sim P(\theta_i | \theta_{-i}^{(t)}, D)$$

조건부 분포를 쉽게 샘플링할 수 있을 때 특히 효율적입니다.

HMC (Hamiltonian Monte Carlo)

물리학의 해밀턴 역학을 활용하여 효율적으로 고차원 공간을 탐색합니다.

위치 $\theta$에 운동량 $r$을 도입하여 해밀토니안:

$$H(\theta, r) = -\log P(\theta|D) + \frac{1}{2} r^T M^{-1} r$$

리프로그 적분기로 궤적을 시뮬레이션하여 상관관계 없는 샘플을 효율적으로 생성합니다. PyMC의 NUTS(No-U-Turn Sampler)는 HMC의 자동화 버전입니다.

변분 추론과 VAE

ELBO (Evidence Lower BOund)

사후 분포 $P(\theta|D)$를 직접 계산하기 어려울 때, 근사 분포 $q(\theta)$를 최적화합니다.

KL 발산을 최소화:

$$\text{KL}[q(\theta) \| P(\theta|D)] = \mathbb{E}_{q}[\log q(\theta)] - \mathbb{E}_{q}[\log P(\theta|D)]$$

이를 정리하면:

$$\log P(D) = \text{ELBO}(q) + \text{KL}[q(\theta) \| P(\theta|D)]$$

$$\text{ELBO}(q) = \mathbb{E}_{q}[\log P(D|\theta)] - \text{KL}[q(\theta) \| P(\theta)]$$

ELBO를 최대화하는 것은 주변 우도의 하한을 최대화하는 것과 같습니다.

평균장 근사(Mean-Field Approximation)

파라미터들이 독립이라고 가정:

$$q(\theta) = \prod_i q_i(\theta_i)$$

각 $q_i$에 대한 최적 해:

$$\log q_i^*(\theta_i) = \mathbb{E}_{q_{-i}}[\log P(D, \theta)] + \text{const}$$

VAE (Variational Autoencoder)

VAE는 변분 추론을 딥러닝에 적용한 생성 모델입니다.

**VAE의 ELBO:**

$$\mathcal{L} = \mathbb{E}_{q_\phi(z|x)}[\log p_\theta(x|z)] - \text{KL}[q_\phi(z|x) \| p(z)]$$

- 첫 번째 항: 재구성 손실 (Reconstruction Loss)

- 두 번째 항: 정규화 항 (KL 발산)

**Reparameterization Trick:**

$z \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$에서 직접 샘플링하면 역전파가 불가능합니다. 대신:

$$z = \mu + \sigma \odot \epsilon, \quad \epsilon \sim \mathcal{N}(0, I)$$

class VAE(nn.Module):

def __init__(self, input_dim=784, latent_dim=20, hidden_dim=400):

super().__init__()

인코더

self.encoder = nn.Sequential(

nn.Linear(input_dim, hidden_dim),

nn.ReLU()

)

self.fc_mu = nn.Linear(hidden_dim, latent_dim)

self.fc_logvar = nn.Linear(hidden_dim, latent_dim)

디코더

self.decoder = nn.Sequential(

nn.Linear(latent_dim, hidden_dim),

nn.ReLU(),

nn.Linear(hidden_dim, input_dim),

nn.Sigmoid()

)

def encode(self, x):

h = self.encoder(x)

return self.fc_mu(h), self.fc_logvar(h)

def reparameterize(self, mu, logvar):

"""Reparameterization Trick: z = mu + eps * std"""

std = torch.exp(0.5 * logvar)

eps = torch.randn_like(std)

return mu + eps * std

def forward(self, x):

mu, logvar = self.encode(x)

z = self.reparameterize(mu, logvar)

recon = self.decoder(z)

return recon, mu, logvar

def vae_loss(recon_x, x, mu, logvar):

재구성 손실 (BCE)

recon_loss = nn.functional.binary_cross_entropy(recon_x, x, reduction='sum')

KL 발산: -0.5 * sum(1 + log(sigma^2) - mu^2 - sigma^2)

kl_div = -0.5 * torch.sum(1 + logvar - mu.pow(2) - logvar.exp())

return recon_loss + kl_div

가우시안 프로세스

정의와 커널 함수

가우시안 프로세스(GP)는 함수에 대한 분포입니다. 임의의 유한 집합의 함수값이 다변량 가우시안 분포를 따른다면 GP라고 합니다:

$$f(x) \sim \mathcal{GP}(m(x), k(x, x'))$$

- $m(x)$: 평균 함수 (주로 0으로 설정)

- $k(x, x')$: 커널 함수 (공분산 함수)

**주요 커널 함수:**

RBF(Squared Exponential) 커널:

$$k_{SE}(x, x') = \sigma_f^2 \exp\!\left(-\frac{\|x - x'\|^2}{2\ell^2}\right)$$

Matérn 커널 (nu=5/2):

$$k_{M52}(x, x') = \sigma_f^2\left(1 + \frac{\sqrt{5}\|x-x'\|}{\ell} + \frac{5\|x-x'\|^2}{3\ell^2}\right)\exp\!\left(-\frac{\sqrt{5}\|x-x'\|}{\ell}\right)$$

주기적 커널:

$$k_{per}(x, x') = \sigma_f^2 \exp\!\left(-\frac{2\sin^2(\pi|x-x'|/p)}{\ell^2}\right)$$

GPR (Gaussian Process Regression)

관측 데이터 $(\mathbf{X}, \mathbf{y})$가 주어졌을 때 새로운 입력 $\mathbf{X}_*$에 대한 예측:

$$\mathbf{f}_* | \mathbf{X}, \mathbf{y}, \mathbf{X}_* \sim \mathcal{N}(\bar{\mathbf{f}}_*, \text{cov}(\mathbf{f}_*))$$

$$\bar{\mathbf{f}}_* = K(\mathbf{X}_*, \mathbf{X})[K(\mathbf{X}, \mathbf{X}) + \sigma_n^2 I]^{-1}\mathbf{y}$$

$$\text{cov}(\mathbf{f}_*) = K(\mathbf{X}_*, \mathbf{X}_*) - K(\mathbf{X}_*, \mathbf{X})[K(\mathbf{X}, \mathbf{X}) + \sigma_n^2 I]^{-1}K(\mathbf{X}, \mathbf{X}_*)$$

class ExactGPModel(gpytorch.models.ExactGP):

def __init__(self, train_x, train_y, likelihood):

super().__init__(train_x, train_y, likelihood)

self.mean_module = gpytorch.means.ConstantMean()

self.covar_module = gpytorch.kernels.ScaleKernel(

gpytorch.kernels.RBFKernel()

)

def forward(self, x):

mean_x = self.mean_module(x)

covar_x = self.covar_module(x)

return gpytorch.distributions.MultivariateNormal(mean_x, covar_x)

데이터 준비

torch.manual_seed(42)

train_x = torch.linspace(0, 1, 20)

train_y = torch.sin(train_x * 2 * 3.14159) + torch.randn(20) * 0.1

likelihood = gpytorch.likelihoods.GaussianLikelihood()

model = ExactGPModel(train_x, train_y, likelihood)

하이퍼파라미터 최적화 (MLL 최대화)

model.train()

likelihood.train()

optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=0.1)

mll = gpytorch.mlls.ExactMarginalLogLikelihood(likelihood, model)

for i in range(200):

optimizer.zero_grad()

output = model(train_x)

loss = -mll(output, train_y)

loss.backward()

optimizer.step()

예측

model.eval()

likelihood.eval()

test_x = torch.linspace(0, 1, 100)

with torch.no_grad(), gpytorch.settings.fast_pred_var():

predictions = likelihood(model(test_x))

mean = predictions.mean

lower, upper = predictions.confidence_region()

print(f"학습된 lengthscale: {model.covar_module.base_kernel.lengthscale.item():.4f}")

print(f"학습된 noise: {likelihood.noise.item():.4f}")

베이지안 딥러닝과 불확실성 정량화

불확실성의 종류

- **인식론적 불확실성(Epistemic Uncertainty)**: 모델 자체의 불확실성. 데이터가 많아지면 감소.

- **우연론적 불확실성(Aleatoric Uncertainty)**: 데이터의 고유한 노이즈. 데이터를 아무리 늘려도 줄어들지 않음.

MC Dropout

Dropout을 테스트 시에도 활성화하여 베이지안 추론을 근사합니다. Gal & Ghahramani (2016)은 Dropout이 가우시안 프로세스의 근사와 수학적으로 동등함을 증명했습니다.

$$P(y^*|x^*, X, Y) \approx \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} P(y^*|x^*, \hat{\omega}_t)$$

class BayesianMLP(nn.Module):

def __init__(self, input_dim, hidden_dim, output_dim, dropout_p=0.1):

super().__init__()

self.dropout_p = dropout_p

self.net = nn.Sequential(

nn.Linear(input_dim, hidden_dim),

nn.ReLU(),

nn.Dropout(p=dropout_p),

nn.Linear(hidden_dim, hidden_dim),

nn.ReLU(),

nn.Dropout(p=dropout_p),

nn.Linear(hidden_dim, output_dim)

)

def forward(self, x):

return self.net(x)

def mc_dropout_predict(model, x, n_samples=100):

"""MC Dropout으로 예측 불확실성 추정"""

model.train() # Dropout 활성화 유지

predictions = []

with torch.no_grad():

for _ in range(n_samples):

pred = model(x)

predictions.append(pred)

predictions = torch.stack(predictions) # (n_samples, batch, output)

mean = predictions.mean(dim=0)

불확실성 = 예측값의 분산

uncertainty = predictions.var(dim=0)

return mean, uncertainty

사용 예시

model = BayesianMLP(input_dim=10, hidden_dim=64, output_dim=1, dropout_p=0.1)

x_test = torch.randn(32, 10)

mean_pred, uncertainty = mc_dropout_predict(model, x_test, n_samples=200)

print(f"예측 평균: {mean_pred.shape}, 불확실성: {uncertainty.shape}")

print(f"평균 불확실성: {uncertainty.mean().item():.4f}")

베이지안 신경망(BNN)

가중치에 분포를 부여하여 완전한 베이지안 처리:

$$W \sim \mathcal{N}(0, \sigma_w^2 I)$$

변분 추론으로 사후 분포 근사:

$$q_\phi(W) = \mathcal{N}(\mu_\phi, \text{diag}(\sigma_\phi^2))$$

from pyro.nn import PyroModule, PyroSample

class BayesianLinear(PyroModule):

def __init__(self, in_features, out_features):

super().__init__()

self.in_features = in_features

self.out_features = out_features

가중치와 편향에 사전 분포 정의

self.weight = PyroSample(

dist.Normal(0., 1.).expand([out_features, in_features]).to_event(2)

)

self.bias = PyroSample(

dist.Normal(0., 10.).expand([out_features]).to_event(1)

)

def forward(self, x):

return x @ self.weight.T + self.bias

class BayesianNN(PyroModule):

def __init__(self, in_dim, hidden_dim, out_dim):

super().__init__()

self.layer1 = BayesianLinear(in_dim, hidden_dim)

self.layer2 = BayesianLinear(hidden_dim, out_dim)

def forward(self, x, y=None):

x = torch.relu(self.layer1(x))

mu = self.layer2(x).squeeze(-1)

sigma = pyro.sample("sigma", dist.Uniform(0., 1.))

with pyro.plate("data", x.shape[0]):

obs = pyro.sample("obs", dist.Normal(mu, sigma), obs=y)

return mu

실전 도구: PyMC, Stan, Pyro

NumPyro로 베이지안 로지스틱 회귀

from numpyro.infer import MCMC, NUTS

def logistic_regression_model(X, y=None):

"""NumPyro 베이지안 로지스틱 회귀 모델"""

n_features = X.shape[1]

사전 분포

alpha = numpyro.sample("alpha", dist.Normal(0., 10.))

beta = numpyro.sample("beta", dist.Normal(jnp.zeros(n_features), jnp.ones(n_features)))

로짓 계산

logits = alpha + X @ beta

우도

with numpyro.plate("obs", X.shape[0]):

numpyro.sample("y", dist.Bernoulli(logits=logits), obs=y)

NUTS 샘플러로 추론

def run_mcmc(X_train, y_train, num_samples=2000, num_warmup=1000):

kernel = NUTS(logistic_regression_model)

mcmc = MCMC(kernel, num_warmup=num_warmup, num_samples=num_samples)

rng_key = jax.random.PRNGKey(42)

mcmc.run(rng_key, X_train, y_train)

return mcmc.get_samples()

사용 예시 (데이터 생성)

from sklearn.datasets import make_classification

from sklearn.preprocessing import StandardScaler

X, y = make_classification(n_samples=200, n_features=4, random_state=42)

X = StandardScaler().fit_transform(X)

X_jax = jnp.array(X)

y_jax = jnp.array(y)

samples = run_mcmc(X_jax, y_jax)

print(f"추론된 alpha: {samples['alpha'].mean():.3f} +/- {samples['alpha'].std():.3f}")

print(f"추론된 beta: {samples['beta'].mean(axis=0)}")

Stan 모델 예시 (PyMC로 구현)

계층적 베이지안 모델 (Hierarchical Model)

여러 그룹의 데이터를 동시에 모델링

n_groups = 5

n_per_group = 20

np.random.seed(42)

group_means = np.random.randn(n_groups) * 2

y_obs = np.concatenate([

np.random.randn(n_per_group) + group_means[g]

for g in range(n_groups)

])

group_idx = np.repeat(np.arange(n_groups), n_per_group)

with pm.Model() as hierarchical_model:

하이퍼 사전 분포 (Hyperprior)

mu_global = pm.Normal('mu_global', mu=0, sigma=10)

sigma_global = pm.HalfNormal('sigma_global', sigma=5)

그룹별 평균 (부분 풀링, Partial Pooling)

mu_group = pm.Normal('mu_group', mu=mu_global, sigma=sigma_global, shape=n_groups)

관측 우도

sigma_obs = pm.HalfNormal('sigma_obs', sigma=2)

y = pm.Normal('y', mu=mu_group[group_idx], sigma=sigma_obs, observed=y_obs)

trace = pm.sample(2000, tune=1000, return_inferencedata=True, random_seed=42)

print(az.summary(trace, var_names=['mu_group', 'mu_global', 'sigma_global']))

퀴즈

**정답**: MAP = MLE + log Prior

**설명**: MLE는 $\arg\max P(D|\theta)$를 최적화하고, MAP는 $\arg\max P(D|\theta)P(\theta)$를 최적화합니다. 로그를 취하면 MAP = log-likelihood + log-prior입니다. 가우시안 사전 분포 $P(\theta) \propto \exp(-\lambda\|\theta\|^2)$를 사용하면 log-prior = $-\lambda\|\theta\|^2$이 되어 L2 정규화(Ridge)와 동일한 페널티를 부여합니다. 라플라스 사전 분포를 사용하면 $-\lambda\|\theta\|_1$이 되어 L1 정규화(Lasso)와 동일합니다. 즉, 정규화는 파라미터에 대한 베이지안 사전 믿음을 빈도주의적으로 표현한 것입니다.

**정답**: 초기값 의존성 제거를 위해 필요합니다.

**설명**: MCMC 체인의 초기 상태는 임의로 설정되며, 사후 분포와 거리가 먼 공간에 있을 수 있습니다. 마르코프 체인이 정상 분포(stationary distribution)인 사후 분포로 수렴(mixing)하기까지 일정 시간이 필요합니다. Burn-in period는 이 수렴 전의 초기 샘플들을 버리는 과정입니다. Burn-in 없이 초기 샘플을 포함하면 추론이 초기값에 편향(biased)됩니다. NUTS 등 현대 샘플러에서는 warm-up 단계가 이 역할을 합니다.

**정답**: 역전파 가능한 그래디언트를 만들기 위해서입니다.

**설명**: VAE의 잠재 변수 $z \sim \mathcal{N}(\mu_\phi(x), \sigma_\phi^2(x))$를 직접 샘플링하면, 샘플링 연산은 미분 불가능한 확률적 노드가 됩니다. 역전파 시 $\partial z / \partial \phi$를 계산할 수 없습니다. Reparameterization trick은 $z = \mu_\phi(x) + \sigma_\phi(x) \odot \epsilon$, $\epsilon \sim \mathcal{N}(0, I)$로 변환하여 확률성을 입력 $\epsilon$으로 분리합니다. 이로써 $z$에서 $\mu_\phi, \sigma_\phi$까지의 결정론적 경로가 생겨 역전파가 가능해집니다.

**정답**: 커널은 함수 공간에서의 사전 믿음을 인코딩합니다.

**설명**: 커널 함수 $k(x, x')$는 입력 간의 유사도를 정의하며, 이는 학습하려는 함수의 구조적 가정을 반영합니다. RBF 커널은 무한 번 미분 가능한 매끄러운 함수를 가정하며, 길이 스케일 $\ell$이 클수록 멀리 있는 점들도 상관이 높아집니다. Matérn 커널은 유한한 미분 가능성을 가정하여 더 거친 함수를 표현합니다. 주기 커널은 주기적 패턴을 가정합니다. 커널 하이퍼파라미터는 주변 우도(Marginal Likelihood) 최대화로 자동 학습되며, 잘못된 커널 선택은 과소적합이나 과대적합으로 이어집니다.

**정답**: Dropout은 가우시안 프로세스의 변분 추론과 수학적으로 동등합니다.

**설명**: Gal & Ghahramani (2016)은 임의 깊이와 비선형성을 가진 신경망에 Dropout을 적용하는 것이 딥 가우시안 프로세스에 대한 변분 추론과 수학적으로 동등함을 증명했습니다. 구체적으로, 각 레이어의 가중치에 베르누이 분포를 사전 분포로 설정하고 변분 추론을 수행하면 Dropout 학습의 목적 함수와 일치합니다. 따라서 테스트 시 Dropout을 활성화한 채로 $T$번 순전파하면 사후 분포의 몬테카를로 적분이 됩니다. 단, Dropout rate는 모델 불확실성을 조절하는 하이퍼파라미터로 튜닝이 필요합니다.

목차

확률론 기초와 베이즈 정리

베이즈 정리

주요 확률 분포

주요 확률 분포 시각화

가우시안 분포

베르누이 분포

디리클레 분포 샘플링

베이지안 추론: 사전/사후 분포

MAP vs MLE

켤레 사전 분포(Conjugate Prior)

PyMC로 베이지안 선형 회귀

사전 분포 정의

우도 함수

NUTS 샘플러로 사후 분포 추정

결과 요약

alpha ~ 1.5, beta ~ 2.3, sigma ~ 0.5 근처로 수렴해야 함

MCMC: 마르코프 체인 몬테카를로

Metropolis-Hastings 알고리즘

제안 분포에서 후보 샘플링

수용 확률 계산 (로그 공간에서)

수용/거부 결정

가우시안 혼합 분포에서 샘플링

Burn-in 제거 후 분석

Gibbs Sampling

HMC (Hamiltonian Monte Carlo)

변분 추론과 VAE

ELBO (Evidence Lower BOund)

평균장 근사(Mean-Field Approximation)

VAE (Variational Autoencoder)

인코더

디코더

재구성 손실 (BCE)

KL 발산: -0.5 * sum(1 + log(sigma^2) - mu^2 - sigma^2)

가우시안 프로세스

정의와 커널 함수

GPR (Gaussian Process Regression)

데이터 준비

하이퍼파라미터 최적화 (MLL 최대화)

예측

베이지안 딥러닝과 불확실성 정량화

불확실성의 종류

MC Dropout

불확실성 = 예측값의 분산

사용 예시

베이지안 신경망(BNN)

가중치와 편향에 사전 분포 정의

실전 도구: PyMC, Stan, Pyro

NumPyro로 베이지안 로지스틱 회귀

사전 분포

로짓 계산

우도

NUTS 샘플러로 추론

사용 예시 (데이터 생성)

Stan 모델 예시 (PyMC로 구현)

계층적 베이지안 모델 (Hierarchical Model)

여러 그룹의 데이터를 동시에 모델링

하이퍼 사전 분포 (Hyperprior)

그룹별 평균 (부분 풀링, Partial Pooling)

관측 우도

퀴즈