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공업수학 시리즈 7편: 연립 미분방정식과 상태공간

현실 시스템은 한 변수만 따로 움직이지 않는 경우가 많습니다. 전류와 전압이 함께 변하고, 위치와 속도가 함께 변하고, 여러 저장소의 물질 농도가 서로 영향을 줍니다. 이럴 때는 연립 미분방정식이 자연스럽습니다.

왜 연립으로 써야 할까

예를 들어 위치 $x$ 와 속도 $v$ 를 따로 생각하면

$x' = v$

$v' = -\omega^2 x$

처럼 두 식이 서로 연결됩니다. 하나의 2차 식으로 합칠 수도 있지만, 두 개의 1차 식으로 쓰면 구조가 더 선명해지고 행렬로 정리하기 쉬워집니다.

상태공간 표현

변수들을 벡터로 묶으면

\mathbf{y} = \begin{pmatrix} x \\ v \end{pmatrix}

이고, 식은

$\mathbf{y}' = A\mathbf{y}$

형태로 쓸 수 있습니다. 위의 예시에서는

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\omega^2 & 0 \end{pmatrix}

입니다.

이 표현은 뒤에서 배우는 고유값, 대각화와 직접 연결됩니다.

손으로 풀어보는 예제

다음 연립식을 보겠습니다.

$x' = y$

$y' = -x$

첫 번째 식을 한 번 더 미분하면

$x'' = y' = -x$

이므로

$x'' + x = 0$

가 됩니다. 따라서

$x(t) = C_1 \cos t + C_2 \sin t$

입니다.

이제 $y = x'$ 이므로

$y(t) = -C_1 \sin t + C_2 \cos t$

입니다.

조건이

$x(0)=1, \quad y(0)=0$

이라면

$C_1 = 1, \quad C_2 = 0$

이고 결과는

$x(t) = \cos t, \quad y(t) = -\sin t$

가 됩니다.

이 시스템은 에너지가 보존되는 단순 조화운동의 전형적인 형태입니다.

공학 응용

제어공학

현대 제어는 거의 항상 상태공간으로 시스템을 씁니다. 센서가 읽는 상태, 입력, 출력, 잡음을 각각 벡터로 두고 전체 거동을 행렬로 표현합니다.

화학 공정

여러 탱크 사이 농도 이동이나 반응 속도도 연립식으로 나타납니다.

컴퓨터 시스템

큐 길이, 처리율, 백로그, 재시도 횟수처럼 서로 영향을 주는 상태변수도 단순화하면 연립 동역학 모델로 볼 수 있습니다.

위상평면 직관

연립 미분방정식은 수치만이 아니라 궤적을 그림으로 보는 맛이 있습니다. $(x, y)$ 평면에서 해의 흐름을 보면 어떤 점이 안정점인지, 원운동인지, 발산인지 읽을 수 있습니다.

이 관점은 나중에 고유값과 선형시스템 안정성을 배울 때 매우 중요합니다.

자주 하는 실수

연립식을 억지로 하나의 식으로만 본다

하나의 2차 식으로 바꾸는 것도 좋지만, 상태공간 형태를 익혀 두면 훨씬 많은 시스템을 통일해서 다룰 수 있습니다.

변수 순서를 자주 바꾼다

벡터의 순서와 행렬의 의미가 일치해야 합니다. 상태벡터 정의를 먼저 고정하는 습관이 필요합니다.

해를 구하고도 상호작용을 해석하지 않는다

연립식은 각 변수의 상호작용이 핵심입니다. 어떤 변수가 다른 변수를 어떻게 밀고 당기는지 해석까지 연결해야 합니다.

한 줄 요약

연립 미분방정식은 여러 상태가 함께 움직이는 시스템을 행렬과 상태공간으로 보는 출발점입니다.

다음 편 예고

다음 글에서는 닫힌형 해를 바로 얻기 어려운 경우를 대비해 급수해와 ordinary point 관점을 소개하겠습니다.

참고자료

Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10th Edition
Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications
Hassan K. Khalil, Nonlinear Systems

Engineering Math Series 7: Systems of Differential Equations and State Space

Real-world systems often do not have just one variable moving in isolation. Current and voltage change together, position and velocity change together, and the concentrations of substances in multiple tanks influence each other. In such cases, systems of differential equations are natural.

Why Write Systems

For example, if you think of position $x$ and velocity $v$ separately,

$x' = v$

$v' = -\omega^2 x$

the two equations are interconnected. You could combine them into a single second-order equation, but writing them as two first-order equations makes the structure clearer and easier to organize with matrices.

State-Space Representation

Bundling the variables into a vector gives

\mathbf{y} = \begin{pmatrix} x \\ v \end{pmatrix}

and the equations can be written as

$\mathbf{y}' = A\mathbf{y}$

In the example above,

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\omega^2 & 0 \end{pmatrix}

This representation connects directly to eigenvalues and diagonalization, which we will learn later.

Worked Example

Consider the following system.

$x' = y$

$y' = -x$

Differentiating the first equation once more gives

$x'' = y' = -x$

$x'' + x = 0$

Therefore

$x(t) = C_1 \cos t + C_2 \sin t$

Since $y = x'$ ,

$y(t) = -C_1 \sin t + C_2 \cos t$

If the conditions are

$x(0)=1, \quad y(0)=0$

then

$C_1 = 1, \quad C_2 = 0$

and the result is

$x(t) = \cos t, \quad y(t) = -\sin t$

This system is the typical form of simple harmonic motion where energy is conserved.

Engineering Applications

Control Engineering

Modern control almost always writes systems in state-space form. The states read by sensors, inputs, outputs, and noise are each represented as vectors, and the overall behavior is expressed as matrices.

Chemical Processes

Concentration transfer between multiple tanks and reaction rates are also represented as systems of equations.

Computer Systems

State variables that influence each other, such as queue length, throughput, backlog, and retry count, can be viewed as coupled dynamical models when simplified.

Phase Plane Intuition

Systems of differential equations have the appeal of visualizing trajectories as pictures, not just numbers. Looking at the flow of solutions in the $(x, y)$ plane reveals whether a point is stable, whether there is circular motion, or whether there is divergence.

This perspective becomes very important when learning about eigenvalues and linear system stability later.

Common Mistakes

Only viewing systems as a single equation

Converting to a single second-order equation is fine, but becoming familiar with the state-space form allows you to handle a much wider range of systems in a unified way.

Frequently changing variable order

The order of the vector and the meaning of the matrix must match. The habit of fixing the state vector definition first is necessary.

Finding the solution but not interpreting the interactions

In systems, the interaction between variables is the key. You must connect the analysis to how each variable pushes and pulls the others.

One-Line Summary

Systems of differential equations are the starting point for viewing systems where multiple states move together through matrices and state space.

Next Post Preview

In the next post, we will introduce the series solution and ordinary point perspective as preparation for cases where a closed-form solution is not readily available.

References

Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10th Edition
Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications
Hassan K. Khalil, Nonlinear Systems